2筑波大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) 初期条件から $x_2=b=-2$、$y_2=d=0$。したがって $x_3=-2a$、$y_3=-2c$ であり、指定値 $x_3=0$、$y_3=-4$ と比較して
$$(a,b,c,d)=(0,-2,2,0).$$

(2) $s=\sin\theta$、$q=\cos\theta$ とおく。$x_2=-2s$、$y_2=2q$ より $b=-2s$、$d=2q$。また
$$-2as-4sq=-8sq,\qquad -2cs+4q^2=4(q^2-s^2).$$
ここで $x_3=-4\sin2\theta=-8sq$、$y_3=4\cos2\theta=4(q^2-s^2)$ を用いた。$0<\theta<\pi$ では $s>0$ なので、前式から $a=2q$、後式から $c=2s$ を得る。従って
$$(a,b,c,d)=(2\cos\theta,-2\sin\theta,2\sin\theta,2\cos\theta).$$

(3) 得られた係数から
$$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}.$$
初項 $(x_1,y_1)=(0,1)$ で公式は成り立つ。$n$ で成り立つと仮定すると、加法定理により
$$\begin{aligned} x_{n+1}&=-2^n\{\cos\theta\sin((n-1)\theta)+\sin\theta\cos((n-1)\theta)\} =-2^n\sin(n\theta),\\ y_{n+1}&=2^n\{-\sin\theta\sin((n-1)\theta)+\cos\theta\cos((n-1)\theta)\} =2^n\cos(n\theta). \end{aligned}$$$$x_{n+1}=-2^n\{\cos \theta \sin ((n-1)\theta )+\sin \theta \cos ((n-1)\theta )\}=-2^n\sin (n\theta ),$$$$y_{n+1}=2^n\{-\sin \theta \sin ((n-1)\theta )+\cos \theta \cos ((n-1)\theta )\}=2^n\cos (n\theta ).$$
よって帰納法により
$$x_n=-2^{n-1}\sin((n-1)\theta),\qquad y_n=2^{n-1}\cos((n-1)\theta).$$

(4) この公式から $x_n^2+y_n^2=4^{n-1}$。条件 $x_n=256$、$y_n=0$ より $4^{n-1}=256^2=4^8$ となるため $n=9$。さらに $\sin(8\theta)=-1$、$\cos(8\theta)=0$ なので
$$8\theta=\frac{3\pi}{2}+2k\pi.$$
$0<\theta<\pi$ から $k=0,1,2,3$ であり、
$$\theta=\frac{3\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16},\ \frac{15\pi}{16}\text{ のいずれか}.$$