2福井大学 2024年 数学 第2問解答・解説

複素数を極形式で累乗し、剰余類別の実部・虚部を比較する。複素数平面上で $\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$ を結ぶ直線の方程式を求め、点と直線の距離を剰余類ごとに評価する。

$z=1+\sqrt{3}\,i$ の絶対値は $2$、偏角は $\dfrac{\pi}{3}$ である。従って
$$z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right),\qquad a_{n}=2^{n}\cos\dfrac{n\pi}{3},\quad b_{n}=2^{n}\sin\dfrac{n\pi}{3}.$$

(1)

三角関数の相互関係より
$$a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=4^{n}\left(\cos^{2}\dfrac{n\pi}{3}+\sin^{2}\dfrac{n\pi}{3}\right)=4^{n}.$$

(2)

$n$ を 6 で割った余りが 0 または 3 のとき、$\sin\dfrac{n\pi}{3}=0$ で、余弦は $1$ または $-1$ だから $a_{n}$、$b_{n}$ は整数である。余りが 1、2、4、5 のとき、正弦または余弦の一方に $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ が現れ、その成分は $\pm\sqrt{3}\cdot2^{n-1}$ となって整数ではない。よって
$$n\equiv0,\,3\pmod6,$$
すなわち $n$ は 3 の正の倍数である。

(3)

$\mathrm{Q}=(\sqrt{3},\,5)$、$\mathrm{R}=(-\sqrt{3},\,11)$ だから、直線 $\ell$ の傾きは
$$\dfrac{11-5}{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}=-\sqrt{3}.$$
従って $\ell$ の方程式は $y=-\sqrt{3}\,x+8$、すなわち $\sqrt{3}\,x+y-8=0$ である。点 $\mathrm{P}(z^{n})=(a_{n},\,b_{n})$ からこの直線までの距離は
$$d_{n}=\dfrac{\left|\sqrt{3}\,a_{n}+b_{n}-8\right|}{2}.$$
$n$ を 6 で割った余りにより、$\sqrt{3}\,a_{n}+b_{n}$ は次のようになる。
$$\begin{array}{c|rrrrrr} n\bmod6&0&1&2&3&4&5\\\hline \sqrt{3}\,a_{n}+b_{n}&\sqrt{3}\cdot2^{n}&\sqrt{3}\cdot2^{n}&0&-\sqrt{3}\cdot2^{n}&-\sqrt{3}\cdot2^{n}&0 \end{array}$$
$n=1$ では $d_{1}=\dfrac{8-2\sqrt{3}}{2}=4-\sqrt{3}$。余りが 2 または 5 なら $d_{n}=4$、余りが 3 または 4 なら $d_{n}=4+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot2^{n}>4$。余りが 0 または 1 で $n\geqq2$ となる最初は $n=6$ であり、そのとき $\sqrt{3}\cdot2^{n}>8$、以後その値はさらに大きくなるので $d_{n}>4$ である。従って最小値は
$$\boxed{4-\sqrt{3}}$$
で、これは $n=1$ のときに限る。