筑波大学 2025年数学第4問解答・解説

1問題

筑波大学2025年度第4問

i

を虚数単位とする。

a

は1でない正の実数の定数とする。複素数平面において、方程式

|z-a^{2}i|=a|z-i|

を満たす点zが表す図形をCとする。

(1) 図形 C は原点 O を中心とする円であることを示し、その半径を求めよ。

以下の問いでは点

z

は円

C

上を動くとし、

z

の偏角を

\theta

とする。ただし

0 \leqq \theta < 2\pi

とする。また、

w = z - \frac{1}{z}

とおく。

(2)

|w - 2i|^2

を

a

と

\sin \theta

を用いて表せ。

(3)

\left|w-2i\right|+\left|w+2i\right|

は点 z の位置によらない定数であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

z=x+iy

（

x,y

は実数）とする。元の両辺は非負であるから、両辺を2乗しても同値である。

\begin{aligned} |z-a^2i|^2=a^2|z-i|^2 &\text{、すなわち } x^2+(y-a^2)^2=a^2\{x^2+(y-1)^2\}\\ &\text{、すなわち } (1-a^2)(x^2+y^2-a^2)=0. \end{aligned}

∣ z - a^{2} i ∣^{2} = a^{2} ∣ z - i ∣^{2} 、すなわち x^{2} + (y - a^{2})^{2} = a^{2} {x^{2} + (y - 1)^{2}} 、すなわち (1 - a^{2}) (x^{2} + y^{2} - a^{2}) = 0.

a\ne1

より

1-a^2\ne0

なので

x^2+y^2=a^2

。また

a>0

だから、

C

は原点を中心とする半径

a

の円である。

以下、

z

は

C

上にあるので

z=a(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad \dfrac1z=\dfrac1a(\cos\theta-i\sin\theta).

A=a-\dfrac1a

、

B=a+\dfrac1a

、

s=\sin\theta

とおくと

w=A\cos\theta+iB s,\qquad B^2-A^2=4.

(2) 実部と虚部に分けて絶対値の平方を計算すると

\begin{aligned} |w-2i|^2 &=A^2\cos^2\theta+(Bs-2)^2\\ &=A^2(1-s^2)+B^2s^2-4Bs+4\\ &=A^2+4s^2-4Bs+4\\ &=B^2+4s^2-4Bs=(B-2s)^2\\ &=\left(a+\dfrac1a-2\sin\theta\right)^2. \end{aligned}

∣ w - 2 i ∣^{2} = A^{2} cos^{2} θ + (B s - 2)^{2} = A^{2} (1 - s^{2}) + B^{2} s^{2} - 4 B s + 4 = A^{2} + 4 s^{2} - 4 B s + 4 = B^{2} + 4 s^{2} - 4 B s = (B - 2 s)^{2} = (a + \frac{1}{a} - 2 sin θ)^{2} .

(3) 同様に

|w+2i|^2=A^2\cos^2\theta+(Bs+2)^2=(B+2s)^2.

さらに

B-2=a+\dfrac1a-2=\dfrac{(a-1)^2}{a}>0

であり、

-1\leqq s\leqq1

だから

B-2s>0

、

B+2s>0

である。したがって

|w-2i|=B-2s,\qquad |w+2i|=B+2s.

よって

|w-2i|+|w+2i|=2B=2\left(a+\dfrac1a\right),

となり、

z

の位置によらない。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

複素数平面
複素数の極形式

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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