4山口大学 2023年 数学 第4問解答・解説

まず、以後用いる不等式 $e^t>1+t\ (t>0)$ を確認する。$\phi(t)=e^t-1-t$ とおくと、$\phi(0)=0$、$\phi'(t)=e^t-1>0\ (t>0)$ だから、$\phi(t)>0$ である。
(1) $H(x)=e^x\left(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\right)$ とおくと、
$$H'(x)=e^x\left\{1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}-1+x-\frac{x^2}{2}\right\} =-\frac{x^3e^x}{6}<0\quad(x>0).$$
したがって $H$ は $x>0$ で減少し、$H(0)=1$ より $H(x)<1$。
(2) $G(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}$ とおく。問題文で与えられた不等式を $\theta=x/2>0$ に適用すると、
$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}<2\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{x^2}{2}.$$
よって $G'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}>0\ (x>0)$。$G(0)=0$ だから $G(x)>0\ (x>0)$。
(3) $\pi>3$ より $\pi/3>1$ である。(上で示した不等式から) $e^{\pi/3}>1+\pi/3>2$ なので $e^{-\pi/3}<1/2$。$\pi/3<x<\pi/2$ では $e^{-x}<1/2$、また正弦の増加性から $\sin x>\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2>1/2$ である。したがって
$$f''(x)=e^{-x}-\sin x<0\quad\left(\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{2}\right).$$
さらに $f'(\pi/3)=1/2-e^{-\pi/3}>0$、$f'(\pi/2)=-e^{-\pi/2}<0$。ゆえに $f'$ はこの範囲で連続であり、$\pi/3<x_1<x_2<\pi/2$ なら $f'(x_1)>f'(x_2)$ となるので、この範囲内にただ1つ $c$ があり $f'(c)=0$ となる。$c$ の前後で $f'$ はそれぞれ正、負だから、$f$ は $c$ で極大値をとる。
(4) $Q(x)=e^x\cos x$ とおくと、
$$f'(x)=e^{-x}\bigl(Q(x)-1\bigr),\qquad Q'(x)=e^x(\cos x-\sin x).$$
$Q$ は $0<x<\pi/4$ で増加し、$\pi/4<x<\pi$ で減少する。また $e^{\pi/4}>1+\pi/4>7/4>\sqrt2$（$\pi>3$、$49/16>2$）より $Q(\pi/4)=e^{\pi/4}/\sqrt2>1$、一方 $Q(0)=1$、$Q(\pi/2)=0$。したがって $Q(x)=1$ となる点 $\alpha$ は $\pi/4<\alpha<\pi/2$ の範囲にただ1つであり、$Q(x)>1\ (0<x<\alpha)$、$Q(x)<1\ (\alpha<x<\pi)$ である。ゆえに $f'(x)>0\ (0<x<\alpha)$、$f'(x)<0\ (\alpha<x<\pi)$。$f(0)=0$ なので $f(\alpha)>0$、また $f(\pi)=e^{-\pi}-1<0$。連続性と中間値の定理により $\alpha<x<\pi$ の範囲に解が少なくとも1つあり、この範囲では $x_1<x_2$ なら $f(x_1)>f(x_2)$ となるので解はただ1つである。さらに $0<x\leqq\alpha$ では $f(x)>0$ だから、これが $0<x<\pi$ の範囲全体でただ1つの解である。