6筑波大学 2025年 数学 第6問解答・解説

$f(x) = \sqrt{x} e^{-\frac{x^2}{4}} (x \geqq 0)$ とし、$\displaystyle \alpha = \int_0^5 f(x)\,dx$ とする。

(1) $f(x)$ ( $x \geqq 0$ ) が最大値をとることを示し、その値 M を求めよ。

(2) $0 \leqq x \leqq 5$ において $e^{-\frac{25}{4}}\sqrt{x} \leqq f(x)$ を示せ。また、$\frac{10}{3}f(5) \leqq \alpha$ を示せ。

(3) Mは(1)で求めたものとし、実数 t は $\frac{2}{3}f(5) \leqq t \leqq M$ の範囲を動くとする。曲線 $y = f(x) - t (x \geqq 0)$ , 2 直線 $x = 0$、$x = 5$、および $x$ 軸で囲まれた図形を、x 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を $V(t)$ とする。 $V(t)$ の最小値を $\alpha$ を用いて表せ。