I日本医科大学 2025年 数学 第I問解答・解説

独立な二項試行として確率を表し、複素数の倍率を極形式で掛け合わせた。二項確率の比で最頻値を特定し、偏角条件を合同式に直して純虚数となる場合を数えた。

(問1) 1回の試行で「4以下」が出る確率は $4/6=2/3$、「5または6」が出る確率は $2/6=1/3$ である。各回は独立なので、4以下がちょうど $k$ 回となる確率は
$$P_{n,k}={}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{n-k} ={}_{n}\mathrm{C}_{k}\frac{2^k}{3^n}.$$
したがって $\text{ア}=2,\ \text{イ}=3$ である。

「4以下」が出たときの複素数の倍率は
$$\sqrt2 i=\sqrt2\left(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\right),$$
「5または6」が出たときの倍率は
$$\frac1{1+i}=\frac{1-i}{2} =\frac1{\sqrt2}\left(\cos\left(-\frac\pi4\right)+i\sin\left(-\frac\pi4\right)\right).$$
従って、4以下が $k$ 回、残り $n-k$ 回なら、極形式の積から
$$\begin{aligned} z_{n,k} &=(\sqrt2 i)^k\left(\frac1{1+i}\right)^{n-k}\\ &=2^{(2k-n)/2} \left\{\cos\left(\frac{3k-n}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3k-n}{4}\pi\right)\right\}. \end{aligned}$$$$z_{n,k}=(\sqrt{2}i{)}^k{\left(\frac{1}{1+i}\right)}^{n-k}$$$$=2^{(2k-n)/2}\left\{\cos \left(\frac{3k-n}{4}\pi \right)+i\sin \left(\frac{3k-n}{4}\pi \right)\right\}.$$
よって $\text{ウ}=2,\ \text{エ}=2,\ \text{オ}=2,\ \text{カ}=3,\ \text{キ}=4$ である。

(問2) $k=0,1,\ldots,2024$ に対し、隣り合う確率の比は
$$\frac{P_{2025,k+1}}{P_{2025,k}} =\frac{2025-k}{k+1}\cdot2.$$
これは $2(2025-k)>k+1$、すなわち $k<4049/3$ のとき1より大きい。従って $k\leqq1349$ までは確率が増加し、$k\geqq1350$ では減少するので、最大値は $k=1350$ でとる。よって $\text{ク}=1350$ である。

(問3) $z_{2025,k}$ の絶対値は正なので、純虚数となる条件は偏角の余弦が0となることである。
$$\cos\left(\frac{3k-2025}{4}\pi\right)=0 \quad\text{すなわち}\quad 3k-2025\equiv2\pmod4.$$
ここで $2025\equiv1\pmod4$ だから、$3k\equiv3\pmod4$、従って $k\equiv1\pmod4$ となる。$0\leqq k\leqq2025$ の範囲では
$$k=1,5,9,\ldots,2025$$
であり、その個数は $(2025-1)/4+1=507$ 個である。よって $\text{ケ}=507$ である。