4東京慈恵会医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

複素数を直交座標で表し、正の実数条件を円周上の点とxの範囲に置き換えて二次式の値域を求める。

$z=x+iy\ (x,y\text{ は実数})$ とおく。$z$ は実数でないから $y\neq0$ である。また
$$R=(x-1)^2+y^2=|z-1|^2>0$$
とおけば
$$\frac{1}{z-1}=\frac{x-1-iy}{R}$$
である。したがって $z+1/(z-1)$ の虚部は $y(1-1/R)$ である。これが0であり $y\neq0$ なので $R=1$ となる。このとき実部は $x+(x-1)=2x-1$ であり、これが正だから $x>1/2$ である。

$R=1$ より $y^2=1-(x-1)^2=2x-x^2$ である。$y\neq0$ だから $2x-x^2>0$、すなわち $0<x<2$ であり、以上を合わせると
$$\frac12<x<2$$
である。逆に、この範囲の任意の $x$ に対し $y=\sqrt{2x-x^2}>0$ とすれば $R=1$ かつ $2x-1>0$ となるため、元の条件を満たす複素数が得られる。

絶対値の中の式は
$$\begin{aligned} \frac{1}{z-1}-\frac{z-\overline z}{2}+1 &=(x-1-iy)-iy+1\\ &=x-2iy, \end{aligned}$$$$\frac{1}{z-1}-\frac{z-\overline{z}}{2}+1=(x-1-iy)-iy+1$$$$=x-2iy,$$
となる。よってその絶対値の2乗は
$$|x-2iy|^2=x^2+4y^2=x^2+4(2x-x^2)=8x-3x^2 =\frac{16}{3}-3\left(x-\frac43\right)^2.$$
$1/2<x<2$ より $|x-4/3|<5/6$ であるから、
$$\frac{16}{3}-3\left(\frac56\right)^2<|x-2iy|^2\leqq\frac{16}{3},$$
すなわち $13/4<|x-2iy|^2\leqq16/3$ である。上端は $x=4/3$、$y=\pm\sqrt{8/9}$ のときに実現する。下端は $x=1/2$ を必要とするが、正の実数という条件から $x>1/2$ なので実現しない。また $1/2<x\leqq4/3$ では $4/3-x$ が0以上 $5/6$ 未満の全ての値をとるため、2乗の値は $13/4$ より大きく $16/3$ 以下の全ての値をとる。

したがって、求める絶対値の範囲は
$$\frac{\sqrt{13}}2<\left|\frac1{z-1}-\frac{z-\overline z}{2}+1\right|\leqq\frac4{\sqrt3}$$
である。