3筑波大学 2022年 数学 第3問解答・解説

点$\mathrm{A}$を原点とする位置ベクトルで最初の内分点と係数を求め、隣り合う辺ベクトルの漸化式を用いて3段目まで展開した。最後に$\vec{a}$と$\vec{b}$の一次独立性から平行条件を係数比較で判定した。

(1)

点$\mathrm{A}$を原点とすると、$\mathrm{B}$、$\mathrm{D}$、$\mathrm{C}$の位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{a}+\vec{b}$である。内分の定義から、
$$\overrightarrow{\mathrm{AA}_{1}}=t\vec{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=\vec{a}+t\vec{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}=(1-t)\vec{a}+\vec{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}_{1}}=(1-t)\vec{b}$$
である。したがって、
$$\overrightarrow{\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{AA}_{1}}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b},\qquad \overrightarrow{\mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{AA}_{1}}=-t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$$
となり、$p=1-t$、$q=t$、$x=-t$、$y=1-t$である。

(2)

また、
$$\overrightarrow{\mathrm{D}_{1}\mathrm{C}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}_{1}}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}},$$
$$\overrightarrow{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=-t\vec{a}+(1-t)\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{A}_{1}\mathrm{D}_{1}}$$
である。向かい合う2組の辺のベクトルがそれぞれ等しいので、四角形$\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}$は平行四辺形である。

(3)

$s=1-t$とおき、各段階の辺ベクトルを$U_{k}=\overrightarrow{\mathrm{A}_{k}\mathrm{B}_{k}}$、$V_{k}=\overrightarrow{\mathrm{A}_{k}\mathrm{D}_{k}}$とする。分割の定義から$U_{k+1}=sU_{k}+tV_{k}$、$V_{k+1}=-tU_{k}+sV_{k}$である。これを2回適用すると、$U_{1}=s\vec{a}+t\vec{b}$、$V_{1}=-t\vec{a}+s\vec{b}$、$U_{2}=(s^{2}-t^{2})\vec{a}+2st\vec{b}$、$V_{2}=-2st\vec{a}+(s^{2}-t^{2})\vec{b}$となる。
さらに、$U_{3}=sU_{2}+tV_{2}=s(s^{2}-3t^{2})\vec{a}+t(3s^{2}-t^{2})\vec{b}$である。平行四辺形$\mathrm{ABCD}$が一直線上にないので、$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立であり、$U_{3}$が$\vec{b}$と平行である条件は$s(s^{2}-3t^{2})=0$である。$0<t<1$より$s>0$だから$s=\sqrt{3}\,t$、すなわち$1-t=\sqrt{3}\,t$である。よって$t=\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$である。このとき$\vec{b}$の係数は$8t^{3}>0$で、$U_{3}$は零ベクトルではないので、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{A}_{3}\mathrm{B}_{3}}$は平行となり、条件を満たす。