5筑波大学 2022年 数学 第5問解答・解説

法線のx切片から距離を求め、指数関数の微分による増減と(2)の不等式で全域の最大を比較する。

(1) $f(x)=(x+1)e^{-x}$ とおくと $f'(x)=-xe^{-x}$ である。$t\ne0$ では接線の傾きが $-te^{-t}$ だから、法線の傾きは $e^t/t$ である。したがって法線の方程式は
$$y-(t+1)e^{-t}=\frac{e^t}{t}(x-t).$$
$y=0$ として $Q$ の $x$ 座標を求めると
$$x_Q=t-t(t+1)e^{-2t},\qquad d(t)=|x_Q-t|=|t(t+1)|e^{-2t}.$$
$t=0$ では接線は水平、法線は $x=0$ であり、$Q=R=(0,0)$ なので $d(0)=0$。よって同じ式が $t=0$ にも成り立つ。

(2) $g(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ とおく。$x\geqq0$ で
$$g(0)=g'(0)=0,\qquad g''(x)=e^x-1\geqq0.$$
したがって $g'$ は $x\geqq0$ で増加し $g'(x)\geqq0$、さらに $g$ も増加して $g(x)\geqq0$ である。これより所望の不等式を得る。

(3) $-1<t<0$ では $d(t)=-t(t+1)e^{-2t}$ であり、
$$d'(t)=e^{-2t}(2t^2-1).$$
端点での値（左端は極限）は $0$ なので、この区間の最大は $t=-1/\sqrt2$ で取り、値は
$$M_-=\frac{\sqrt2-1}{2}e^{\sqrt2}.$$
一方 $t\geqq0$ では $d(t)=t(t+1)e^{-2t}$、
$$d'(t)=e^{-2t}(1-2t^2)$$
より最大は $t=1/\sqrt2$ で取り、値は $M_+=\frac{\sqrt2+1}{2}e^{-\sqrt2}$ である（また $t\to\infty$ のとき $d(t)\to0$）。(2) を $x=2\sqrt2$ に適用すると
$$e^{2\sqrt2}\geqq 5+2\sqrt2>3+2\sqrt2=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1},$$
ゆえに $M_-/M_+>1$。したがって全域 $t>-1$ における最大値は
$$\boxed{\frac{\sqrt2-1}{2}e^{\sqrt2}}$$
であり、$t=-1/\sqrt2$ のときに達する。