1旭川医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

三辺の長さからOA⊥OBを導き、位置ベクトルと内積で直角条件をm+n=1に帰着する。次にAQ・BPの媒介表示の係数比較でRを求め、直交する二方向での三角形の面積を足し引きする。最後にu=m(1-m)に置き換え、初等的な差の計算で単調性と端点の達成を示す。

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおく。辺の長さより
$$|\vec{a}|=1,\qquad |\vec{b}|=\sqrt2,\qquad |\vec{b}-\vec{a}|=\sqrt3.$$
したがって
$$|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$$
に代入すると $3=1+2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$ だから $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$、すなわち $\mathrm{OA}\perp\mathrm{OB}$ である。また $\mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:2$ より
$$\overrightarrow{OL}=\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}.$$

問1
$$\overrightarrow{LP}=\left(m-\frac23\right)\vec{a}-\frac13\vec{b}, \qquad \overrightarrow{LQ}=-\frac23\vec{a}+\left(n-\frac13\right)\vec{b}.$$
$\angle PLQ=\frac\pi2$ なので $\overrightarrow{LP}\cdot\overrightarrow{LQ}=0$ である。$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$, $|\vec{a}|^2=1$, $|\vec{b}|^2=2$ を用いると
$$0=-\frac23\left(m-\frac23\right)-\frac23\left(n-\frac13\right) =-\frac23(m+n)+\frac23.$$
よって
$$\boxed{m+n=1}.$$

問2　 $D=1-mn$ とおく。$0<m,n<1$ だから $D>0$ である。$R$ は直線 $AQ$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて
$$\overrightarrow{OR}=(1-t)\vec{a}+tn\vec{b}$$
と表せる。また $R$ は直線 $BP$ 上にもあるので、ある実数 $s$ を用いて
$$\overrightarrow{OR}=sm\vec{a}+(1-s)\vec{b}$$
とも表せる。$\vec{a},\vec{b}$ は垂直な零でないベクトルだから係数を比較でき、
$$1-t=sm,\qquad tn=1-s.$$
第2式から $s=1-tn$ を第1式に代入して
$$1-m=t(1-mn),\qquad t=\frac{1-m}{1-mn}=\frac{n}{D},$$
ただし $m+n=1$ を用いた。したがって
$$1-t=\frac{D-n}{D}=\frac{m^2}{D},\qquad tn=\frac{n^2}{D}.$$
ゆえに
$$\boxed{\overrightarrow{OR}=\frac{m^2}{m^2-m+1}\overrightarrow{OA} +\frac{(1-m)^2}{m^2-m+1}\overrightarrow{OB}}, \qquad (n=1-m).$$

問3　 問2より、$\vec{a},\vec{b}$ に関する $R$ の係数を
$$x=\frac{m^2}{D},\qquad y=\frac{n^2}{D}$$
とおくと $\overrightarrow{OR}=x\vec{a}+y\vec{b}$ である。$m,n>0$ なので $x,y>0$ であり、
$$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=\frac{m+n}{D}=\frac1{1-mn}>1.$$
直線 $PQ$ 上の点の係数 $(X,Y)$ は $X/m+Y/n=1$ を満たすため、$R$ は直線 $PQ$ のうち $O$ と反対側にある。従って、四角形 $OPRQ$ の面積から直角三角形 $OPQ$ の面積を引けば $\triangle PRQ$ の面積になる。

$OA\perp OB$ であることから、各三角形の面積は底辺と高さを使って
$$[OPR]=\frac{\sqrt2}{2}my,\qquad [ORQ]=\frac{\sqrt2}{2}nx,\qquad [OPQ]=\frac{\sqrt2}{2}mn$$
となる。よって
$$S=[OPR]+[ORQ]-[OPQ] =\frac{\sqrt2}{2}(my+nx-mn).$$
ここで $m+n=1$, $D=1-mn$ より
$$my+nx=\frac{mn^2+nm^2}{D}=\frac{mn(m+n)}D=\frac{mn}{D},$$
したがって
$$S=\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{m^2n^2}{1-mn}.$$
$u=mn=m(1-m)$ とおくと、$0<m<1$ より $0<u\leqq\frac14$ であり、等号は $m=n=\frac12$ のときに成り立つ。さらに $0<u<v\leqq\frac14$ なら
$$\frac{v^2}{1-v}-\frac{u^2}{1-u} =\frac{(v-u)(u+v-uv)}{(1-u)(1-v)}>0$$
であるから $u^2/(1-u)$ はこの範囲で増加する。$u$ は $0$ に限りなく近づけるが $0$ にはならず、最大値 $1/4$ は実際にとるので
$$\lim_{u\to0+}S=0,\qquad S_{\max}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{(1/4)^2}{1-1/4} =\frac{\sqrt2}{24}.$$
従って求める範囲は
$$\boxed{0<S\leqq\frac{\sqrt2}{24}}.$$