6筑波大学 2022年 数学 第6問解答・解説

(1)

$\alpha\neq1$ とし、$\alpha-1=u+iv$ とおくと $u^{2}+v^{2}>0$ で、
$$\dfrac{1}{\alpha-1}=\dfrac{u-iv}{u^{2}+v^{2}}$$
である。したがって $\dfrac{1}{\alpha-1}$ の虚部は $-\dfrac{v}{u^{2}+v^{2}}$ である。分母は正であり、$\alpha$ の虚部は $v$ なので、$\alpha$ の虚部が正であることと、$\dfrac{1}{\alpha-1}$ の虚部が負であることは同値である。

(2)

$z=x+iy$（$y>0$）とおくと $B-A=-iz=y-ix\neq0$、$C-A=z^{2}-1=(x^{2}-y^{2}-1)+2xyi$ である。従って三点が一直線上にある条件は、$\overline{(B-A)}(C-A)$ の虚部が $0$ となることである。成分を計算すると、その虚部は
$$x(x^{2}+y^{2}-1)$$
となる。
ゆえに $x=0$ または $x^{2}+y^{2}=1$ である。条件 $y>0$ を合わせると、集合 $S$ は、$y>0$ かつ（$x=0$ または $x^{2}+y^{2}=1$）を満たす点全体である。すなわち、正の虚軸（原点を除く）と単位円の上半円（実軸上の両端を除く）の和集合であり、両者は $z=i$ で交わる。

(3)

(1) より、$z$ が集合 $S$ に属するなら $w$ の虚部は負である。まず $z=iy\ (y>0)$ なら
$$w=\dfrac{1}{iy-1}=\dfrac{-1-iy}{1+y^{2}},\qquad\left|w+\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}.$$
逆に $\left|w+\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$、$w$ の虚部が負なら、$|w|^{2}+(w\text{ の実部})=0$ であり、$z=1+\dfrac{1}{w}$ は実部 $0$、虚部正となる。したがってこの部分の像は、中心 $-\dfrac{1}{2}$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の下半円弧である。
次に $|z|=1$、$z$ の虚部が正なら、$z=1+\dfrac{1}{w}$ より $|w+1|=|w|$、従って $w$ の実部は $-\dfrac{1}{2}$ である。逆にこの直線上で $w$ の虚部が負なら、$z=1+\dfrac{1}{w}$ は $|z|=1$、虚部正を満たす。よって $w$ の動く範囲は、この下半円弧と実部が $-\dfrac{1}{2}$ の直線（虚部は負）の和集合である。
点 $P\left(-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right)$ と円の中心 $O\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ の距離は
$$|P-O|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$
半径 $\dfrac{1}{2}$ の円弧までの最短距離は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ である。最近点は次の式で表される点であり、
$$w_{0}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right)$$
この点は下半円弧上にあるので等号が達成される。一方、直線部分までの最短距離は $\dfrac{1}{2}$（$w=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{i}{\sqrt{2}}$ で達成）である。$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}<\dfrac{1}{2}$ だから、全体での最小値は $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ である。