2富山大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)
$I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{dx}{\cos x}$ では、$\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1-\sin^{2}x}$ であり、$u=\sin x$ とおくと $du=\cos x\,dx$ である。$x$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{3}$ まで動くとき $u$ は $0$ から $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ まで動くから
$$I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\dfrac{du}{1-u^{2}}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\dfrac{1}{1-u}+\dfrac{1}{1+u}\right)du=\dfrac{1}{2}\left[\log\dfrac{1+u}{1-u}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
となる。よって
$$I_{1}=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})^{2}=\log(2+\sqrt{3})$$
である。
$\dfrac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ であるから
$$I_{2}=\left[\tan x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}$$
である。
(2)
$\dfrac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$、$\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{\cos^{n-1}x}=\dfrac{(n-1)\sin x}{\cos^{n}x}$ より
$$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\tan x}{\cos^{n-1}x}\right)=\dfrac{1}{\cos^{n+1}x}+\dfrac{(n-1)\sin^{2}x}{\cos^{n+1}x}$$
である。$\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ を用いると
$$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\tan x}{\cos^{n-1}x}\right)=\dfrac{n}{\cos^{n+1}x}-\dfrac{n-1}{\cos^{n-1}x}$$
となる。両辺を $0$ から $\dfrac{\pi}{3}$ まで積分する。$x=\dfrac{\pi}{3}$ のとき $\tan x=\sqrt{3}$、$\dfrac{1}{\cos x}=2$ であり、$x=0$ のとき $\tan x=0$ であるから
$$\left[\dfrac{\tan x}{\cos^{n-1}x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}=2^{n-1}\sqrt{3}$$
である。よって
$$nI_{n+1}=2^{n-1}\sqrt{3}+(n-1)I_{n-1}$$
すなわち
$$I_{n+1}=\dfrac{2^{n-1}\sqrt{3}+(n-1)I_{n-1}}{n}$$
である。
(3)
$n=2$ とすると $2I_{3}=2\sqrt{3}+I_{1}$ より
$$I_{3}=\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})$$
である。
$n=3$ とすると $3I_{4}=4\sqrt{3}+2I_{2}=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ より
$$I_{4}=2\sqrt{3}$$
である。
(4)
$x=\dfrac{1}{2}\tan\theta$（$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$）とおくと、$dx=\dfrac{1}{2\cos^{2}\theta}\,d\theta$、$\sqrt{1+4x^{2}}=\dfrac{1}{\cos\theta}$ である。$x=0$ のとき $\theta=0$、$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $\tan\theta=\sqrt{3}$ より $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ である。
よって
$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{\tan^{2}\theta}{4}\cdot\dfrac{1}{\cos\theta}\cdot\dfrac{1}{2\cos^{2}\theta}\,d\theta=\dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{\tan^{2}\theta}{\cos^{3}\theta}\,d\theta$$
である。$\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}-1$ より $\dfrac{\tan^{2}\theta}{\cos^{3}\theta}=\dfrac{1}{\cos^{5}\theta}-\dfrac{1}{\cos^{3}\theta}$ であるから、求める積分は $\dfrac{1}{8}(I_{5}-I_{3})$ である。
(2) の式で $n=4$ とすると $4I_{5}=8\sqrt{3}+3I_{3}$ より $I_{5}=2\sqrt{3}+\dfrac{3}{4}I_{3}$ となり、$I_{5}-I_{3}=2\sqrt{3}-\dfrac{1}{4}I_{3}$ である。したがって
$$\dfrac{1}{8}\left(2\sqrt{3}-\dfrac{1}{4}I_{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{32}I_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{32}-\dfrac{1}{64}\log(2+\sqrt{3})$$
となり、
$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx=\dfrac{7\sqrt{3}}{32}-\dfrac{1}{64}\log(2+\sqrt{3})$$
である。