3富山大学 2025年 数学 第3問解答・解説

二等辺三角形の対称軸をx軸にする座標を設定して垂心を求め、面積をcos θの関数として表した。最大値は導関数の符号で判断し、最後は三次不等式を因数分解して解いた。

$u=\frac{\theta}{2}$とおき、対称軸をx軸にして $A=(0,0)$, $B=(\cos u,\sin u)$, $C=(\cos u,-\sin u)$ とする。BCは鉛直線 $x=\cos u$ なので、Aからの高度はx軸上にあり、垂心を $H=(h,0)$ と書ける。ACの傾きは $-\tan u$ だから、BからACへの高度の傾きは $\cot u$ である。よって H は $y-\sin u=\cot u(x-\cos u)$ 上にあり、 $h=\cos u-\sin u\tan u=\frac{\cos^2u-\sin^2u}{\cos u}=\frac{\cos\theta}{\cos u}$.
(1) $BC=2\sin u$ であり、HからBCまでの距離は $\cos u-h=\frac{\cos^2u-\cos 2u}{\cos u}=\frac{\sin^2u}{\cos u}$。したがって $T(\theta)=\frac12(2\sin u)\frac{\sin^2u}{\cos u}=\frac{\sin^3u}{\cos u}=\frac{\sin^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$。
(2) $AH=h$、Cからx軸までの距離は $\sin u$ なので、 $S(\theta)=\frac12h\sin u=\frac12\cos\theta\tan(\theta/2)$。$t=\cos\theta$ とおくと $0<t<1$ で、 $S^2=\frac14t^2\frac{1-t}{1+t}$。これを微分すると $\frac{d(S^2)}{dt}=\frac{t(1-t-t^2)}{2(1+t)^2}$。$0<t<1$ の範囲で導関数は $t_0=\frac{\sqrt5-1}{2}$ の前で正、後で負だから、最大は $t=t_0$ でとる。$t_0^2=1-t_0$、$1+t_0=1/t_0$ より $S_{\max}^2=\frac14t_0^5=\frac{5\sqrt5-11}{8}$。
(3) $S>0$ なので条件を二乗してよい。 $S^2\geqq\frac1{48}$ は、$t=\cos\theta$ を用いると $12t^2(1-t)\geqq1+t$、すなわち $(2t-1)(6t^2-3t-1)\leqq0$ と同値。二次式の根は $\frac{3\pm\sqrt{33}}{12}$ であり、負の根は $0<t<1$ の範囲外である。符号を調べると条件を満たすのは $\frac12\leqq t\leqq\frac{3+\sqrt{33}}{12}$。したがって $\frac12\leqq\cos\theta\leqq\frac{3+\sqrt{33}}{12}$。