1福島県立医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

漸化式と初項から、すべての $a_{n}$ は正である。そこで $r_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ とおくと、
$$r_{n+1}=\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=4\cdot\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=4r_{n},\qquad r_{1}=8.$$
よって $r_{n}=8\cdot4^{n-1}$ であり、
$$a_{n}=r_{1}\times r_{2}\times\cdots\times r_{n-1} =8^{n-1}\cdot4^{(n-1)(n-2)/2} =2^{n^{2}-1}.$$
$n=1,2$ でそれぞれ $1,8$ となり、またこの式を漸化式に代入すると両辺の指数は $2n^{2}+4n+2$ で一致する。

(2)

赤玉5個の入るマスを選ぶ方法は全部で ${}_{24}\mathrm{C}_{5}$ 通りで、これらは同様に確からしい。赤玉を含む列が $k$ 列のとき、まずその列を ${}_{8}\mathrm{C}_{k}$ 通りに選ぶ。選んだ列の各々に少なくとも1個、最大3個の赤玉が入る。5個を2列に分ける場合は個数が $(2,3)$ なので、各列の選び方は ${}_{3}\mathrm{C}_{2}\,{}_{3}\mathrm{C}_{3}+{}_{3}\mathrm{C}_{3}\,{}_{3}\mathrm{C}_{2}=6$ 通りである。3列の場合、個数の組は $(3,1,1)$ または $(2,2,1)$ だから、固定した3列で
$$3\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{3}\,({}_{3}\mathrm{C}_{1})^{2}+3\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{1}\,({}_{3}\mathrm{C}_{2})^{2}=27+81=108$$
通りである。4列の場合の個数は $(2,1,1,1)$ なので、固定した4列で
$$4\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{2}\,({}_{3}\mathrm{C}_{1})^{3}=324$$
通りである。5個の赤玉は1列には入らないため、4列以下となる確率は
$$\dfrac{{}_{8}\mathrm{C}_{2}\cdot6+{}_{8}\mathrm{C}_{3}\cdot108+{}_{8}\mathrm{C}_{4}\cdot324}{{}_{24}\mathrm{C}_{5}} =\dfrac{28896}{42504}=\dfrac{172}{253}.$$
ちょうど3列となる確率は
$$\dfrac{{}_{8}\mathrm{C}_{3}\cdot108}{{}_{24}\mathrm{C}_{5}} =\dfrac{6048}{42504}=\dfrac{252}{1771}.$$

(3)

$g(x)=f(x)e^{x^{2}}$ とおくと、
$$g'(x)=e^{x^{2}}\{f'(x)+2xf(x)\}\leqq0$$
である。したがって $g$ は $x\geqq0$ で単調非増加であり、$g(x)\leqq g(0)=f(0)$ となる。$e^{-x^{2}}>0$ を掛ければ
$$f(x)\leqq f(0)e^{-x^{2}}$$
を得る。$x=0$ では等号である。

(4)

双曲線は $y=\pm\sqrt{x^{2}+1}$ と表せる。直線 $y=2$ は上側の枝と $x=\pm\sqrt{3}$ で交わるので、囲まれた部分の面積を $S$ とすると
$$S=2\int_{0}^{\sqrt{3}}\{2-\sqrt{x^{2}+1}\}\,dx.$$
$I=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{x^{2}+1}\,dx$ とおく。部分積分と $\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{x^{2}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ より、
$$I=2\sqrt{3}-I+\int_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}+1}}.$$
最後の積分では $\dfrac{d}{dx}\log\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ だから、
$$2I=2\sqrt{3}+\log(2+\sqrt{3}),\qquad S=4\sqrt{3}-2I=2\sqrt{3}-\log(2+\sqrt{3}).$$

(5)

$y=\sin 2t=2\sin t\cos t$ と $x=\cos t$ から
$$y^{2}=4x^{2}(1-x^{2}),\qquad -1\leqq x\leqq1.$$
曲線は $x$ 軸、$y$ 軸に関して対称で、$(-1,0)$、$(0,0)$、$(1,0)$ を通る。また $4x^{2}(1-x^{2})=1-(2x^{2}-1)^{2}\leqq1$ なので $|y|\leqq1$ であり、$x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で上下の極値 $y=\pm1$ をとる。原点で交わる左右2つの輪からなる横向きの8の字を描く。媒介変数を $0$ から $2\pi$ まで増やすと、主要点は
$$(1,0),\ \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,1\right),\ (0,0),\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,-1\right),\ (-1,0),\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,1\right),\ (0,0),\ \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,-1\right),\ (1,0)$$
の順に通る。

数列は隣接項の比が一定であることから積をとる。配置確率は赤玉を含む列数と各列内の個数の分布で場合分けする。微分不等式は $f(x)e^{x^{2}}$ の単調性に帰着する。面積は左右対称性と部分積分で求める。媒介変数表示の曲線は、媒介変数を消去したあと、対称性と極値・通過の順序を確かめて形を定める。