1富山大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $n$ は自然数なので $3n-2\geqq 1$ である。また
$$4^{3n-2}=4\cdot 4^{3(n-1)}=4\cdot 64^{n-1}$$
と変形できる。$64=9\cdot 7+1$ より $64\equiv 1\pmod 9$ なので、$64^{n-1}\equiv 1\pmod 9$ である。よって
$$4^{3n-2}-1=4\cdot 64^{n-1}-1\equiv 4\cdot 1-1=3\pmod 9$$
となり、$4^{3n-2}-1$ を9で割ると余りは3である。

(2) 自然数 $n$ を5で割った余りを $r$ とすると、$n\equiv r\pmod 5$ より
$$n^{3}+3n^{2}+2n-3\equiv r^{3}+3r^{2}+2r-3\pmod 5$$
が成り立つ。$r=0,\,1,\,2,\,3,\,4$ のとき、$r^{3}+3r^{2}+2r-3$ の値はそれぞれ $-3,\,3,\,21,\,57,\,117$ であり、5で割った余りは順に $2,\,3,\,1,\,2,\,2$ である。どの場合も余りは0にならないので、$n^{3}+3n^{2}+2n-3$ は5の倍数ではない。