2富山大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

$S_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{n}x\,dx$、$c=1+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi+2}{2}$とおく。対称性から$\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin^{n}x\,dx=\dfrac{\pi}{2}S_{n}$であり、$I_{n}=\dfrac{c}{n}S_{n}$である。
$S_{1}=2$、$S_{2}=\dfrac{\pi}{2}$より、$I_{1}=\pi+2$、$I_{2}=\dfrac{\pi(\pi+2)}{8}$である。

(2)

部分積分により
$$S_{n}=\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_{0}^{\pi}+(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx=(n-1)(S_{n-2}-S_{n})$$
である。よって$S_{n}=\dfrac{n-1}{n}S_{n-2}$となる。
したがって、$n\geqq3$のとき
$$I_{n}=\dfrac{c}{n}S_{n}=\dfrac{c(n-1)}{n^{2}}S_{n-2}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{n^{2}}I_{n-2}$$
であり、$n^{2}I_{n}=(n-1)(n-2)I_{n-2}$が成り立つ。

(3)

$P_{n}=S_{n-1}S_{n}$とおく。$P_{2}=\pi$、$P_{3}=\dfrac{2\pi}{3}$であり、$P_{n}=\dfrac{n-2}{n}P_{n-2}$（$n\geqq4$）、$P_{n}=\dfrac{2\pi}{n}$（$n\geqq2$）となる。よって
$$I_{n-1}I_{n}=\dfrac{c^{2}P_{n}}{n(n-1)}=\dfrac{\pi(\pi+2)^{2}}{2n^{2}(n-1)}$$
である。

(4)

$J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(1+x)\sin^{n}x\,dx$とすると、$0<J_{n}<J_{n-1}$である。よって
$$I_{n}=\dfrac{J_{n}}{n}<\dfrac{J_{n-1}}{n}<\dfrac{J_{n-1}}{n-1}=I_{n-1}$$
である。

(5)

$r_{n}=\dfrac{S_{n}}{S_{n-1}}$とおく。$S_{m}<S_{m-1}$（$m\geqq1$）であり、$r_{n}r_{n-1}=\dfrac{n-1}{n}$より、$\dfrac{n-1}{n}<r_{n}<1$、$r_{n}\to1$となる。
このとき
$$nS_{n}^{2}=n(S_{n-1}S_{n})r_{n}=2\pi r_{n}\longrightarrow2\pi$$
であり、したがって
$$n^{3}I_{n}^{2}=c^{2}nS_{n}^{2}\longrightarrow2\pi c^{2}=\dfrac{\pi(\pi+2)^{2}}{2}.$$