3富山大学 2022年 数学 第3問解答・解説

f の増減と値域を先に求め、f(f(x)) の値域を f の値域 J 上での f の最大・最小に帰着する。

(1)
$$f'(x)=\frac{(x^2+3a^2)-2x(x+a)}{(x^2+3a^2)^2}=-\frac{(x+3a)(x-a)}{(x^2+3a^2)^2}.$$
$(x^2+3a^2)^2>0$ であり、$f'$ の符号は
$$x<-3a:\ - ,\quad-3a<x<a:\ + ,\quad x>a:\ -$$
となる。
よって $f$ は $x\leqq-3a$ で減少、$-3a\leqq x\leqq a$ で増加、$x\geqq a$ で減少する。
$$f(-3a)=\frac{-2a}{12a^2}=-\frac1{6a},\qquad f(a)=\frac{2a}{4a^2}=\frac1{2a}.$$
したがって最小値は $-\frac1{6a}$（$x=-3a$）、最大値は $\frac1{2a}$（$x=a$）。

(2)
$$f(f(x))=0\quad\text{すなわち}\quad f(x)=-a\quad\text{すなわち}\quad \frac{x+a}{x^2+3a^2}=-a.$$
分母は正なので、これは
$$ax^2+x+a+3a^3=0$$
と同値である。
この二次方程式が実数解をもつ条件は
$$\Delta=1-4a(a+3a^3)=1-4a^2-12a^4\geqq0$$
である。
$t=a^2>0$ とおくと
$$12t^2+4t-1\leqq0\quad\text{すなわち}\quad -\frac12\leqq t\leqq\frac16.$$
よって $0<a\leqq\frac1{\sqrt6}$。

(3)
(1)より $f$ の値域は $-\frac1{6a}\leqq y\leqq\frac1{2a}$ である。この範囲を $J$ とする。したがって $f(f(x))$ の最大・最小は、この範囲の $y$ における $f(y)$ の最大・最小である。
(2)の範囲では $-\frac1{6a}<a\leqq\frac1{2a}$ なので $a$ は範囲 $J$ に含まれる。ゆえに最大値は $f(a)=\frac1{2a}$。
$$-3a\text{ が範囲 }J\text{ に含まれる}\quad\text{すなわち}\quad -\frac1{6a}\leqq-3a\quad\text{すなわち}\quad a^2\leqq\frac1{18}\quad\text{すなわち}\quad a\leqq\frac1{3\sqrt2}.$$
この場合、$J$ 内に $f$ の最小点 $-3a$ があるから、最小値は $f(-3a)=-\frac1{6a}$。
一方、$\frac1{3\sqrt2}<a\leqq\frac1{\sqrt6}$ なら $J$ は $-3a$ より右にあり、$f$ は $-\frac1{6a}\leqq y\leqq a$ で増加し、$a\leqq y\leqq\frac1{2a}$ で減少する。したがって最小値は両端の値の小さい方である。
$$f\left(-\frac1{6a}\right)=\frac{6a(6a^2-1)}{1+108a^4}\leqq0,\qquad f\left(\frac1{2a}\right)>0,$$
より最小値は $f(-\frac1{6a})=\frac{6a(6a^2-1)}{1+108a^4}$ である。