3岐阜大学 2022年 数学 第3問解答・解説

数列 $\{a_n\}$ を初項が12で公差8の等差数列とする。また、次の条件で定められる数列 $\{b_n\}$ がある。
$$b_1 = 3, \quad b_{n+1} = b_n + a_n \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$$
以下の問に答えよ。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k$ を求めよ。

(3) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めよ。

(4) 和 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{b_k}$ を求めよ。

(5) 数列 $\{c_m\}$ を、次のように定める。各自然数 m に対して、(4) の和 $S_n$ が
$$\frac{1}{2} - S_n < \frac{1}{10^m}$$
となるような最小の自然数 n を $c_m$ とする。このとき、和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m}c_k$ を求めよ。