1名古屋市立大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 定義域は $x>0$ である。商の微分法より
$$f'(x)=\frac{x\cdot \frac1x-\log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}.$$
$x^2>0$ であり、$\log x$ は増加するから、$f'(x)>0$ は $0<x<e$、$f'(e)=0$、$f'(x)<0$ は $x>e$ で成り立つ。したがって $f(x)$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。$x=e$ で極大かつ最大となり、その値は $f(e)=1/e$ である。極小値はない。

さらに
$$f''(x)=\frac{2\log x-3}{x^3}.$$
よって $0<x<e^{3/2}$ では $f''(x)<0$ で上に凸、$x>e^{3/2}$ では $f''(x)>0$ で下に凸であり、$x=e^{3/2}$ で凹凸が変わる。このとき
$$f(e^{3/2})=\frac{\log(e^{3/2})}{e^{3/2}}=\frac{3}{2e^{3/2}},$$
したがって変曲点は $\left(e^{3/2},\frac{3}{2e^{3/2}}\right)$ である。また $f(1)=0$。$x\to0^+$ のとき $t=1/x\to\infty$ とおけば $f(x)=-t\log t\to-\infty$ であり、問題文より $x\to\infty$ では $f(x)\to0$ である。$x>1$ では $f(x)>0$ だから、曲線は $(1,0)$ を通り、最大点 $(e,1/e)$ を経て、変曲点より先で下に凸のまま $y=0$ に上側から近づく概形となる。

(2) 0を自然数に含める場合に $m=0$ なら、$n>0$ より $m^n=0\ne1=n^m$ なので解ではない。以下 $m,n$ は正の整数とする。両辺の対数をとると
$$m^n=n^m\quad\text{すなわち}\quad n\log m=m\log n\quad\text{すなわち}\quad \frac{\log m}{m}=\frac{\log n}{n}\quad\text{すなわち}\quad f(m)=f(n).$$
ここで整数の範囲を判定するために $2<e<3$ を示す。 $1<t<2$ では $1/t<1$ であり、$t>1$ では $(t+1)^2-4t=(t-1)^2>0$ より $1/t>4/(t+1)^2$ である。よって
$$\log 2=\int_1^2\frac{dt}{t}<1=\int_1^3\frac{4\,dt}{(t+1)^2}<\int_1^3\frac{dt}{t}=\log 3.$$
$\log e=1$ かつ対数関数は、変数が大きくなると値も必ず大きくなる関数だから、$2<e<3$ である。

$m=1$ では $f(m)=0$ である一方、$n>1$ なら $f(n)>0$ なので解はない。$m\geqq3$ なら $e<3\leqq m<n$ であり、(1)より $f$ はこの範囲で、変数が大きくなると値が必ず小さくなる関数だから $f(m)>f(n)$ となり、解はない。

残る $m=2$ のとき、$n=3$ なら
$$f(3)>f(2)\quad\text{すなわち}\quad \frac{\log3}{3}>\frac{\log2}{2}\quad\text{すなわち}\quad \log9>\log8,$$
よって等しくない。$n=4$ では $f(4)=\frac{\log4}{4}=\frac{\log2}{2}=f(2)$ であり、実際 $2^4=4^2=16$。$n\geqq5$ なら $4<n$ かつ $e<4$ より (1)の減少性から $f(4)>f(n)$ となる。したがって求める組は $(m,n)=(2,4)$ のみである。

(3) $f(2)=\frac{\log2}{2}$ であり、また $f(4)=\frac{\log4}{4}=\frac{\log2}{2}$ である。$2<e<4$ なので、(1)の増減より、曲線と直線 $y=\frac{\log2}{2}$ の交点は $x=2,4$ の2点だけで、その間では曲線が直線より上にある。したがって面積 $S$ は
$$\begin{aligned} S&=\int_2^4\left(\frac{\log x}{x}-\frac{\log2}{2}\right)\,dx\\ &=\left[\frac12(\log x)^2-\frac{\log2}{2}x\right]_2^4\\ &=\left(2(\log2)^2-2\log2\right)-\left(\frac12(\log2)^2-\log2\right)\\ &=\frac32(\log2)^2-\log2. \end{aligned}$$$$S={\int }_2^4\left(\frac{\log x}{x}-\frac{\log 2}{2}\right)dx$$$$={\left[\frac{1}{2}(\log x{)}^2-\frac{\log 2}{2}x\right]}_2^4$$$$=\left(2(\log 2{)}^2-2\log 2\right)-\left(\frac{1}{2}(\log 2{)}^2-\log 2\right)$$$$=\frac{3}{2}(\log 2{)}^2-\log 2.$$