III鳥取大学 2024年 数学 第III問解答・解説

異なる3点 $A,B,C$ の間を移動する物体がある。時刻0において物体は点 $A$ に位置しており、1秒ごとに、今いる点以外の他の点に、等しい確率で移動する。$n$ 秒後にこの物体が点 $A$ に位置する確率を $a_n$、点 $B$ に位置する確率を $b_n$、点 $C$ に位置する確率を $c_n$（ただし、$n=0,1,2,\cdots$）とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $n=0,1,2,\cdots$ に対し、$a_{n+1}$ を $b_n,c_n$ で表せ。

(2) $n$ 秒後にこの物体が点 $A$ に位置する確率 $a_n$ を求めよ。

(3) この物体の位置しうる点が、点 $A,B,C$ を含めて合計 $m$ 個（$m>3$）の異なる点に増えたとする。時刻0において物体は点 $A$ に位置し、1秒ごとに今いる点以外の他の点に、等しい確率で移動するとき、$n$ 秒後にこの物体が点 $A$ に位置する確率を求めよ。