I鳥取大学 2024年 数学 第I問解答・解説

(1)

$n=\lceil x\rceil$ とおくと、$n$ は整数である。$3n^{2}-38n+55=(3n-5)(n-11)<0$ より $\dfrac{5}{3}<n<11$ である。
したがって $n=2,\,3,\,\cdots,\,10$ である。各 $n$ に対し $n-1<x\leqq n$ だから、これらを合わせて $1<x\leqq10$ である。

(2)

$m=\left\lceil x+\dfrac{1}{3}\right\rceil$ とおく。定義から $\left\lceil x+\dfrac{4}{3}\right\rceil=m+1$ なので
$$4(m+1)^{2}-52m+113=(2m-9)(2m-13)<0.$$
よって $\dfrac{9}{2}<m<\dfrac{13}{2}$ であり、整数 $m$ は $5,\,6$ である。
$m=5$ のとき $\dfrac{11}{3}<x\leqq\dfrac{14}{3}$、$m=6$ のとき $\dfrac{14}{3}<x\leqq\dfrac{17}{3}$ である。したがって $\dfrac{11}{3}<x\leqq\dfrac{17}{3}$ である。

(3)

$n=\lceil x^{2}\rceil=2x$ とおくと、$n$ は 0 以上の整数で $x=\dfrac{n}{2}$ である。定義より $n-1<\dfrac{n^{2}}{4}\leqq n$ である。右側から $n(n-4)\leqq0$ となるので $n=0,\,1,\,2,\,3,\,4$ である。このうち $n=2$ は左側が $1<1$ となり成り立たない。
$n=0,\,1,\,3,\,4$ はそれぞれ $-1<0\leqq0$、$0<\dfrac{1}{4}\leqq1$、$2<\dfrac{9}{4}\leqq3$、$3<4\leqq4$ を満たす。よって $x=0,\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{2},\,2$ である。