II鳥取大学 2024年 数学 第II問解答・解説

(1)
直線 NP 上の点は、実数 $u$ を用いて $(us,\,ut,\,1-u)$ と表せる。これが球面 $S$ 上にあるとき
$$u^{2}s^{2}+u^{2}t^{2}+(1-u)^{2}=1$$
となり、整理すると $u^{2}(s^{2}+t^{2}+1)-2u=0$ である。$u=0$ は点 N に対応するから、点 Q は $u=\dfrac{2}{s^{2}+t^{2}+1}$ に対応する点である。よって
$$Q\left(\dfrac{2s}{s^{2}+t^{2}+1},\ \dfrac{2t}{s^{2}+t^{2}+1},\ \dfrac{s^{2}+t^{2}-1}{s^{2}+t^{2}+1}\right)$$
(2)
点 P は放物線 $y=x^{2},\ z=0$ 上にあるから、$P(x,\,x^{2},\,0)$ とおくと $s=x$、$t=x^{2}$ である。よって $s^{2}=t$ であり、$t\geqq 0$ のどの値に対しても、$s=\pm\sqrt{t}$ とすれば条件を満たす。
(1) より Q の $y$ 座標は $\dfrac{2t}{s^{2}+t^{2}+1}$ であるから、$s^{2}=t$ を代入して
$$f(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+t+1}\quad (t\geqq 0)$$
$f(t)$ を微分すると
$$f'(t)=\dfrac{2(t^{2}+t+1)-2t(2t+1)}{(t^{2}+t+1)^{2}}=\dfrac{-2(t-1)(t+1)}{(t^{2}+t+1)^{2}}$$
$t\geqq 0$ では $t+1>0$ であるから、$0\leqq t<1$ で $f'(t)>0$、$t>1$ で $f'(t)<0$ となる。よって $f(t)$ は $0\leqq t\leqq 1$ で増加し、$t\geqq 1$ で減少する。
また $f(0)=0$、$f(1)=\dfrac{2}{3}$ であり、$t>0$ では $f(t)>0$、$t\to\infty$ のとき $f(t)\to 0$ である。
したがって、$f(t)$ は $t=1$ で最大値 $\dfrac{2}{3}$、$t=0$ で最小値 $0$ をとる。