IV鳥取大学 2024年 数学 第IV問解答・解説

結論
$$\begin{aligned} (1)\;&\ell: y=2x+1-\frac{\pi}{2},\quad P\left(\frac{\pi}{4}-\frac12,0\right),\\ (2)\;&S=\frac12\log 2-\frac14,\\ (3)\;&V=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi^2}{4}. \end{aligned}$$$$(1)\ell :y=2x+1-\frac{\pi }{2},P\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2},0\right),$$$$(2)S=\frac{1}{2}\log 2-\frac{1}{4},$$$$(3)V=\frac{5\pi }{6}-\frac{{\pi }^2}{4}.$$

曲線を表す関数を $f(x)=\tan x$ とおく。

(1) $f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ より $f'(\pi/4)=2$ である。したがって、点 A での接線 $\ell$ は
$$y-1=2\left(x-\frac{\pi}{4}\right),\qquad y=2x+1-\frac{\pi}{2}.$$
これと $x$ 軸との交点では $y=0$ だから、
$$x=\frac{\pi}{4}-\frac12,\qquad P\left(\frac{\pi}{4}-\frac12,0\right).$$
ここで $a=\pi/4-1/2$、$b=\pi/4$ とおくと $0<a<b$ であり、直線 $\ell$ は $y=2(x-a)$ と表せる。

(2) $f''(x)=\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}\geqq 0$ ($0\leqq x\leqq b$) なので、接線 $\ell$ はこの区間で曲線 $C$ の下側にある。また、$0\leqq x\leqq a$ では $\ell$ の高さ $2(x-a)$ は 0 以下である。したがって面積は
$$\begin{aligned} S&=\int_0^a \tan x\,dx+\int_a^b\{\tan x-2(x-a)\}\,dx\\ &=\int_0^b\tan x\,dx-\int_a^b2(x-a)\,dx\\ &=\left[-\log(\cos x)\right]_0^{\pi/4}-\left[(x-a)^2\right]_a^b\\ &=\frac12\log 2-\frac14. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^a\tan xdx+{\int }_a^b\{\tan x-2(x-a)\}dx$$$$={\int }_0^b\tan xdx-{\int }_a^{b}2(x-a)dx$$$$={\left[-\log (\cos x)\right]}_0^{\pi /4}-{\left[(x-a{)}^2\right]}_a^b$$$$=\frac{1}{2}\log 2-\frac{1}{4}.$$

(3) $x$ 軸の周りに回転すると、$0\leqq x\leqq a$ では半径 $\tan x$ の円板、$a\leqq x\leqq b$ では外半径 $\tan x$、内半径 $2(x-a)$ の円環となる。よって
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_0^a\tan^2x\,dx+\pi\int_a^b\{\tan^2x-4(x-a)^2\}\,dx\\ &=\pi\left(\int_0^b\tan^2x\,dx-\int_a^b4(x-a)^2\,dx\right)\\ &=\pi\left(\left[\tan x-x\right]_0^{\pi/4}-\left[\frac43(x-a)^3\right]_a^b\right)\\ &=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}-\frac16\right)=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi^2}{4}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^a{\tan }^{2}xdx+\pi {\int }_a^b\{{\tan }^{2}x-4(x-a{)}^2\}dx$$$$=\pi \left({\int }_0^b{\tan }^{2}xdx-{\int }_a^{b}4(x-a{)}^{2}dx\right)$$$$=\pi \left({\left[\tan x-x\right]}_0^{\pi /4}-{\left[\frac{4}{3}(x-a{)}^3\right]}_a^b\right)$$$$=\pi \left(1-\frac{\pi }{4}-\frac{1}{6}\right)=\frac{5\pi }{6}-\frac{{\pi }^2}{4}.$$
ここで $\int\tan x\,dx=-\log(\cos x)$、$\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}-1$ を用いた。