II関西医科大学 2022年 数学 第II問解答・解説

分子分母の符号を臨界点で分け、次に多項式の除法で部分分数形へ直す。整数条件は余り項の分母が24を割ることから約数を列挙し、元の関数で正値を確認する。

(1) 分子を因数分解すると
$$6x^2+17x+10=(6x+5)(x+2)$$
である。分母が0となる $x=\frac23$ は定義域から除く。分子の零点は $-2,-\frac56$ であり，符号を調べると
$$\begin{array}{c|cccc} x&x<-2&-2<x<-\frac56&-\frac56<x<\frac23&x>\frac23\\ \hline f(x)&-&+&-&+ \end{array}$$
となる。分子が0の点と分母が0の点では $f(x)>0$ にならないから，求める範囲は
$$-2<x<-\frac56\quad\text{または}\quad x>\frac23$$
である。

(2) 多項式の割り算をすると
$$6x^2+17x+10=(3x-2)(2x+7)+24$$
である。したがって，$x\neq\frac23$ に対して
$$f(x)=2x+7+\frac{24}{3x-2}$$
となる。よって $A=2,\ B=7,\ C=24$ である。

(3) 整数 $n$ に対して $2n+7$ は整数なので，(2)より $f(n)$ が整数となるための必要十分条件は $\frac{24}{3n-2}$ が整数となることである。よって $3n-2$ は24の約数であり，さらに $3n-2\equiv1\pmod 3$ である。24の約数のうちこの条件を満たすものは
$$3n-2=1,\ 4,\ -2,\ -8$$
であるから，候補は $n=1,2,0,-2$ となる。それぞれを代入すると
$$f(1)=33,\qquad f(2)=17,\qquad f(0)=-5,\qquad f(-2)=0.$$
正の整数となるのは $n=1,2$ である。