I愛知医科大学 2022年 数学 第I問解答・解説

次の1)～4)の設問に対して、答えのみを下の解答欄に記入せよ。
1) $x$ を実数とする。$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=488$ であるとき、次の問いに答えよ。
(a) $x+\frac{1}{x}$ の値を求めよ。
(b) $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$ の値を求めよ。
2) $n$ を3以上の整数として、
$$(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\cdots+(1+x)^{n}$$
の展開式を考えるとき、次の問いに答えよ。
(a) $x$ の係数を求めよ。
(b) $x^{2}$ の係数を求めよ。
(c) $x^{3}$ の係数を求めよ。
　 3) 平面上のベクトル $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は次の条件を満たしているとする。
$$\text{(i)}\quad \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$$
$$\text{(ii)}\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}\neq0$$
このとき、次の問いに答えよ。
(a) $\vec{a}\cdot\vec{b}=k$ とするとき、$|\vec{a}|^{2}$ を $k$ の式で表せ。
(b) $\vec{b},\vec{c}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。
4) $n$ 人がそれぞれ異なるプレゼントを1つずつ持ってパーティーに参加し、くじを引いてプレゼント交換を行う。どの人にも、自分の持ってきたプレゼントと異なるプレゼントが当たる場合を考えるとき、次の問いに答えよ。
(a) $n=3$ のときの場合の数は何通りか。
(b) $n=4$ のときの場合の数は何通りか。
(c) $n=5$ のときの場合の数は何通りか。