1島根大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)
領域 $D$ の条件 $|x^{2}-2|+|y|\leqq 2$ で、$|x|\geqq\sqrt{2}$ のとき $x^{2}-2\geqq 0$ なので $|x^{2}-2|=x^{2}-2$。さらに $y\geqq 0$ のとき $|y|=y$ なので、条件は
$$x^{2}-2+y\leqq 2$$
すなわち $y\leqq 4-x^{2}$ である。$y\geqq 0$ と合わせると $4-x^{2}\geqq 0$ が必要で、$|x|\leqq 2$ となる。
よって求める範囲は
$$\sqrt{2}\leqq |x|\leqq 2,\qquad 0\leqq y\leqq 4-x^{2}$$
である。図は、$x\geqq\sqrt{2}$ の側では、$x$ 軸、直線 $x=\sqrt{2}$、放物線 $y=4-x^{2}$ で囲まれた図形（頂点 $(\sqrt{2},\,0)$、$(\sqrt{2},\,2)$、$(2,\,0)$）であり、$x\leqq -\sqrt{2}$ の側はそれを $y$ 軸に関して対称に写したものである。
(2)
$y\geqq 0$ のとき $|y|=y$ なので、条件は $|x^{2}-2|+y\leqq 2$ である。$|x|$ の範囲で分けて考える。
・$|x|\leqq\sqrt{2}$ のとき $x^{2}-2\leqq 0$ より $|x^{2}-2|=2-x^{2}$。条件は $2-x^{2}+y\leqq 2$、すなわち $y\leqq x^{2}$ である。
・$\sqrt{2}\leqq |x|$ のとき、(1) と同じく $y\leqq 4-x^{2}$ である。このとき $4-x^{2}\geqq 0$ が必要なので、$|x|\leqq 2$ となる。
よって求める範囲は、$-2\leqq x\leqq 2$ で $0\leqq y\leqq Y(x)$ であり、
$$Y(x)=\begin{cases}x^{2}, & |x|\leqq\sqrt{2},\\ 4-x^{2}, & \sqrt{2}\leqq |x|\leqq 2\end{cases}$$
である。図は、$x$ 軸を下の辺とし、上の辺が $(-2,\,0)$ から $(-\sqrt{2},\,2)$ まで放物線 $y=4-x^{2}$、そこから原点まで放物線 $y=x^{2}$、原点から $(\sqrt{2},\,2)$ まで放物線 $y=x^{2}$、そこから $(2,\,0)$ まで放物線 $y=4-x^{2}$ をたどる図形である。原点で $x$ 軸に接し、山が 2 つある形になる。
(3)
(1) と (2) の図形は、$x$ 軸と $y$ 軸に関して対称である。よって $x\geqq 0$、$y\geqq 0$ の部分の面積を 4 倍する。その部分は $0\leqq x\leqq 2$、$0\leqq y\leqq Y(x)$ なので、
$$\begin{aligned} S&=4\left(\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}x^{2}\,dx+\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{2}(4-x^{2})\,dx\right)\\ &=4\left(\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}}+\left[4x-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{\sqrt{2}}^{2}\right)\\ &=4\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}+\dfrac{16-10\sqrt{2}}{3}\right)\\ &=4\cdot\dfrac{16-8\sqrt{2}}{3}\\ &=\dfrac{32(2-\sqrt{2})}{3} \end{aligned}$$$$S=4\left({\int }_0^{\sqrt{2}}{x}^{2}dx+{\int }_{\sqrt{2}}^2(4-x^2)dx\right)$$$$=4\left({\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{2}}+{\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{\sqrt{2}}^2\right)$$$$=4\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{16-10\sqrt{2}}{3}\right)$$$$=4\cdot \frac{16-8\sqrt{2}}{3}$$$$=\frac{32(2-\sqrt{2})}{3}$$
よって、領域 $D$ の面積は $\dfrac{32(2-\sqrt{2})}{3}$ である。