4東京医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

座標空間に平行四辺形ABCDがあり、$\mathrm{A}(1,\,0,\,0)$、$\mathrm{B}(0,\,1,\,2)$、$\mathrm{D}(3,\,1,\,0)$ である。この平行四辺形ABCDの周および内部を $M$ とし、$M$ を $z$ 軸のまわりに1回転して得られる立体を $K$ とする。

(1) Cの座標は $(\boxed{\text{ア}},\,\boxed{\text{イ}},\,\boxed{\text{ウ}})$ であり、直線ABと平面 $z=t$ の共有点の座標は
$$\left(\boxed{\text{エ}}-\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}t,\ \dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}t,\ t\right)$$
である。

(2) $K$ を平面 $z=t\ (0\leqq t\leqq2)$ で切った断面の概形として最も適当なものは $\boxed{\text{ケ}}$ であり、$K$ を平面 $z=1$ で切った断面の面積は $\boxed{\text{コ}}\pi$ である。$\boxed{\text{ケ}}$ の解答は次の解答群から最も適当なものを一つ選べ。

⓪ 正方形　① 4つのとがった先をもつ星形　② だ円　③ 円　④ 半円　⑤ 正方形から小さい正方形を除いた形　⑥ 星形から小さい星形を除いた形　⑦ だ円から小さいだ円を除いた形　⑧ 円から同心の小さい円を除いた形（円環）　⑨ 半円から小さい半円を除いた形

（解答群の各図を言葉で表した。）

(3) $K$ の体積は $\boxed{\text{サシ}}\pi$ である。

(4) 点 $\mathrm{P}(a,\,b,\,c)$ が $K$ 上を動くとき、$a^{2}+b^{2}+c^{2}$ の最大値は $\boxed{\text{スセ}}$ である。