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東京医科大学／2025年度／一般

1東京医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

三角関数図形と方程式積分法平面上の曲線と複素数平面

難易度必答 レベル 3/10 目安 10分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

東京医科大学2025年度第1問
(1)
cos⁡25∘+cos⁡35∘sin⁡40∘+cos⁡40∘=アイ \dfrac{\cos25^{\circ}+\cos35^{\circ}}{\sin40^{\circ}+\cos40^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}
である。

(2) 放物線 y=3x2−4x−5y=3x^{2}-4x-5 と放物線 y=−2x2+15x+7y=-2x^{2}+15x+7 の2つの共有点を通る直線の方程式は、
y=ウエオx+カキク y=\dfrac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}x+\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}
である。

(3)
∫04xx2−2x+1 dx=ケコサ \displaystyle\int_{0}^{4}x\sqrt{x^{2}-2x+1}\,dx=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}
である。

(4) ω=cos⁡2π5+isin⁡2π5\omega=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5} とすれば、
(2−ω)(2−ω2)(2−ω3)(2−ω4)=シス (2-\omega)(2-\omega^{2})(2-\omega^{3})(2-\omega^{4})=\boxed{\text{シス}}
である。ただし、ii は虚数単位である。

出典：東京医科大学 2025年度 一般 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    62\dfrac{\sqrt{6}}{2}
  • (2)
    y=375x+115y=\dfrac{37}{5}x+\dfrac{11}{5}
  • (3)
    413\dfrac{41}{3}
  • (4)
    3131

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は和積の公式と合成で、どちらも cos⁡5∘\cos5^{\circ} が出る。(2) は2式を x2x^{2} が消えるように組み合わせる。(3) は x2−2x+1=∣x−1∣\sqrt{x^{2}-2x+1}=|x-1|。(4) は x4+x3+x2+x+1=(x−ω)(x−ω2)(x−ω3)(x−ω4)x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x-\omega)(x-\omega^{2})(x-\omega^{3})(x-\omega^{4}) に x=2x=2。

解答

(1) cos⁡25∘+cos⁡35∘=2cos⁡30∘cos⁡5∘=3cos⁡5∘\cos25^{\circ}+\cos35^{\circ}=2\cos30^{\circ}\cos5^{\circ}=\sqrt{3}\cos5^{\circ}、sin⁡40∘+cos⁡40∘=2sin⁡85∘=2cos⁡5∘\sin40^{\circ}+\cos40^{\circ}=\sqrt{2}\sin85^{\circ}=\sqrt{2}\cos5^{\circ}。比は 32=62\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}。

(2) 1つ目の式の2倍と2つ目の式の3倍を足すと 5y=37x+115y=37x+11。2つの共有点はこの直線上にあるので y=375x+115y=\dfrac{37}{5}x+\dfrac{11}{5}。

(3) x2−2x+1=∣x−1∣\sqrt{x^{2}-2x+1}=|x-1| より
∫01x(1−x) dx+∫14x(x−1) dx=16+272=413. \displaystyle\int_{0}^{1}x(1-x)\,dx+\int_{1}^{4}x(x-1)\,dx=\dfrac{1}{6}+\dfrac{27}{2}=\dfrac{41}{3}.

(4) ωk\omega^{k}（k=1,2,3,4k=1,2,3,4）は x4+x3+x2+x+1=0x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0 の4つの解なので、x=2x=2 を代入して 16+8+4+2+1=3116+8+4+2+1=31。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 和積の公式
  • 2曲線の交点を通る直線
  • 1の5乗根

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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