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東京医科大学／2025年度／一般

3東京医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

指数関数・対数関数

難易度必答 レベル 3/10 目安 10分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

東京医科大学2025年度第3問
正の整数 NN の桁数を f(N)f(N) で表す。例えば、f(99)=2f(99)=2、f(100)=3f(100)=3 である。log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010 とする。

(1) f(550)=アイf(5^{50})=\boxed{\text{アイ}} である。

(2) ∑n=1100f(n2)=ウエオ\displaystyle\sum_{n=1}^{100}f(n^{2})=\boxed{\text{ウエオ}} である。

(3) f(2n)=100f(2^{n})=100 となるような正の整数 nn は全部で カ\boxed{\text{カ}} 個である。

出典：東京医科大学 2025年度 一般 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    3535
  • (2)
    358358
  • (3)
    44

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

桁数は log⁡10N\log_{10}N の整数部分＋1。(2) は n2n^{2} の桁数が変わる境目（32, 92, 312, 9923^{2},\,9^{2},\,31^{2},\,99^{2}）で数を区切る。

解答

(1) log⁡10550=50(1−0.3010)=34.95\log_{10}5^{50}=50(1-0.3010)=34.95 なので35桁。

(2) n2n^{2} の桁数は、1≦n≦31\leqq n\leqq3 で1、4≦n≦94\leqq n\leqq9 で2、10≦n≦3110\leqq n\leqq31 で3、32≦n≦9932\leqq n\leqq99 で4、n=100n=100 で5。
3⋅1+6⋅2+22⋅3+68⋅4+1⋅5=358. 3\cdot1+6\cdot2+22\cdot3+68\cdot4+1\cdot5=358 .

(3) f(2n)=100  ⟺  99≦0.3010n<100  ⟺  328.9⋯≦n<332.2⋯f(2^{n})=100\iff99\leqq0.3010n<100\iff328.9\cdots\leqq n<332.2\cdots。n=329, 330, 331, 332n=329,\,330,\,331,\,332 の4個。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 常用対数と桁数

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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