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九州大学／2023年度／前期

5九州大学 2023年 数学 第5問解答・解説

三角関数微分法積分法平面上の曲線と複素数平面

1問題

九州大学2023年度第5問
xyxy 平面上の曲線 CC を、媒介変数 tt を用いて次のように定める。x=t+2sin⁡2t,y=t+sin⁡t(0<t<π)x=t+2\sin^2t,\quad y=t+\sin t\quad(0<t<\pi)以下の問いに答えよ。
(1) 曲線 CC に接する直線のうち yy 軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2) 曲線 CC のうち y≦xy\leqq x の領域にある部分と直線 y=xy=x で囲まれた図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    2本
  • (2)
    面積は 2π3−32\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

曲線を x=t+2sin⁡2tx=t+2\sin^{2}t、y=t+sin⁡ty=t+\sin t とおくと、x′=1+2sin⁡2tx'=1+2\sin 2t、y′=1+cos⁡t>0y'=1+\cos t>0。x′=0x'=0 は sin⁡2t=−12\sin 2t=-\dfrac{1}{2} より t=7π12, 11π12t=\dfrac{7\pi}{12},\,\dfrac{11\pi}{12} の2点であり、yy 軸と平行な接線は2本である。

(2)

x−y=sin⁡t(2sin⁡t−1)x-y=\sin t(2\sin t-1) なので、y≦xy\leqq x に対応する範囲は π6≦t≦5π6\dfrac{\pi}{6}\leqq t\leqq\dfrac{5\pi}{6}。また y′>0y'>0 より面積は
S=∫π/65π/6(x−y) y′ dt=∫π/65π/6sin⁡t(2sin⁡t−1)(1+cos⁡t) dt=2π3−32. S=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}(x-y)\,y'\,dt=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin t(2\sin t-1)(1+\cos t)\,dt=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 接線条件 dx/dt=0
  • 媒介変数積分
  • 積分区間の符号判定

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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