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熊本大学／2023年度／前期

3熊本大学 2023年 数学 第3問解答・解説

三角関数微分法積分法ベクトル平面上の曲線と複素数平面

1問題

熊本大学2023年度第3問
xyxy 平面上に点 P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta) をとり、θ\theta が −π2≦θ≦π2-\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2} の範囲を動くとする。点 AA は yy 軸上の点で、yy 座標が負であり、AP=2AP=2 を満たす。点 QQ は AQ→=4AP→\overrightarrow{AQ}=4\overrightarrow{AP} を満たす点とする。以下の問いに答えよ。

(問1) 点 QQ の座標を θ\theta を用いて表せ。

(問2) 点 QQ の xx 座標の最大値と最小値および yy 座標の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

(問3) 点 QQ の軌跡と yy 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 問1
    Q=(4cos⁡θ, sin⁡θ+3sin⁡2θ+3)Q=(4\cos\theta,\ \sin\theta+3\sqrt{\sin^2\theta+3})
  • 問2
    xxの最小値00、最大値44。yyの最小値262\sqrt6、最大値77。
  • 問3
    2π2π

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

s=sin⁡θ, c=cos⁡θs=\sin\theta,\ c=\cos\theta とし、A=(0,a)A=(0,a)、a<0a<0 とおく。距離条件から
c2+(s−a)2=4,c2+s2=1 c^2+(s-a)^2=4,\qquad c^2+s^2=1
なので、a2−2sa−3=0a^2-2sa-3=0。負の解を選ぶと
a=s−s2+3. a=s-\sqrt{s^2+3}.
また
AP→=(c,s2+3),Q=A+4AP→=(4c, s+3s2+3). \overrightarrow{AP}=(c,\sqrt{s^2+3}),\qquad Q=A+4\overrightarrow{AP}=(4c,\ s+3\sqrt{s^2+3}).
従って問1は
Q=(4cos⁡θ, sin⁡θ+3sin⁡2θ+3). Q=(4\cos\theta,\ \sin\theta+3\sqrt{\sin^2\theta+3}).

問2では x=4cx=4c より 0≦x≦40\leqq x\leqq4。y=f(s)=s+3s2+3y=f(s)=s+3\sqrt{s^2+3} とおくと
f′(s)=1+3ss2+3. f'(s)=1+\frac{3s}{\sqrt{s^2+3}}.
臨界点は s2+3=−3s\sqrt{s^2+3}=-3s を解いて s=−6/4s=-\sqrt6/4。導関数はこの値の左で負、右で正だからここで最小となる。端点と臨界点の値は
f(−1)=5,f(1)=7,f(−6/4)=26. f(-1)=5,\quad f(1)=7,\quad f(-\sqrt6/4)=2\sqrt6.
よってyの最小値は 262\sqrt6、最大値は 77。

問3では0≦x≦40\leqq x\leqq4 を満たす各 xx に対する二つの枝のy座標の差は
21−x216=1216−x2. 2\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}=\frac12\sqrt{16-x^2}.
従って面積は
∫041216−x2 dx=12⋅π⋅424=2π. \int_0^4\frac12\sqrt{16-x^2}\,dx =\frac12\cdot\frac{\pi\cdot4^2}{4}=2\pi.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 座標と距離
  • 三角関数の範囲
  • 微分による増減
  • 上下の枝の差の積分

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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