3大阪公立大学 2024年 数学 第3問解答・解説

部分積分で積分公式を求め、無滑り条件から接点と線分上の距離を一致させて点Aを媒介変数表示する。最大x座標で曲線の枝を分けて面積を積分する。

問1について，部分積分により
$$\int\theta\sin a\theta\,d\theta=-\frac{\theta\cos a\theta}{a}+\frac1a\int\cos a\theta\,d\theta=-\frac{\theta\cos a\theta}{a}+\frac{\sin a\theta}{a^2}+C.$$
また，もう一度部分積分すると
$$\int\theta^2\cos a\theta\,d\theta=\frac{\theta^2\sin a\theta}{a}-\frac2a\int\theta\sin a\theta\,d\theta=\frac{\theta^2\sin a\theta}{a}+\frac{2\theta\cos a\theta}{a^2}-\frac{2\sin a\theta}{a^3}+C.$$

問2では，接点を $T=(\cos\theta,\sin\theta)$ とする。半円の接線方向で，線分上の $A$ から $B$ への単位方向ベクトルは，初期状態と連続性から $\vec{\tau}=(-\sin\theta,\cos\theta)$ である。初めに接点は $A$ にあり，滑らずに回転するため，接点が半円上を進んだ弧の長さ $\theta$ は，線分上で $A$ から接点まで進んだ長さに等しい。したがって $T=A+\theta\vec{\tau}$ であり，
$$A=T-\theta\vec{\tau}=(\cos\theta+\theta\sin\theta,\;\sin\theta-\theta\cos\theta).$$
$\theta=0$ で $A=(1,0)$，$\theta=\pi$ で $B=T=(-1,0)$ となり，始点と終点も条件に合う。

問3では $x(\theta)=\cos\theta+\theta\sin\theta$，$y(\theta)=\sin\theta-\theta\cos\theta$ とおくと
$$x'(\theta)=\theta\cos\theta,\qquad y'(\theta)=\theta\sin\theta.$$
したがって $x$ は $0\leqq\theta\leqq\pi/2$ で増加して $\pi/2$ で最大となり，その後 $\theta=\pi$ まで減少する。また $y(0)=0$，$y'(\theta)\geqq0$ なので，曲線は $x$ 軸の上側にある。$\pi/2<\theta_0<\pi$ の範囲で $x(\theta_0)=1$ となる値を $\theta_0$ とする。縦の細片で面積を分けると，$-1\leqq x\leqq1$ では戻る枝と $x$ 軸の間，$1\leqq x\leqq\pi/2$ では戻る枝と最初の枝の間の面積を足すことになる。これを各枝のパラメータで表すと
$$S=-\int_{\theta_0}^{\pi} y(\theta)x'(\theta)\,d\theta+\int_{\theta_0}^{\pi/2}y(\theta)x'(\theta)\,d\theta-\int_0^{\pi/2}y(\theta)x'(\theta)\,d\theta=-\int_0^{\pi}y(\theta)x'(\theta)\,d\theta.$$
ここで，縦線 $x=-1$ は横方向の幅がなく，$x$ 軸上では高さが0なので，これらは面積積分に寄与しない。よって
$$S=\int_0^{\pi}\left(\theta^2\cos^2\theta-\theta\sin\theta\cos\theta\right)d\theta.$$
問1の結果に $a=2$ を代入すると
$$\int_0^{\pi}\theta^2\cos^2\theta\,d\theta=\frac12\int_0^{\pi}\theta^2d\theta+\frac12\int_0^{\pi}\theta^2\cos2\theta\,d\theta=\frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi}{4},$$
$$\int_0^{\pi}\theta\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac12\int_0^{\pi}\theta\sin2\theta\,d\theta=-\frac{\pi}{4}.$$
したがって $S=\frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi}{2}$ である。