4福島県立医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)

Pの角速度は $\dfrac{2\pi}{4\pi}=\dfrac{1}{2}$、速さは $6\cdot\dfrac{1}{2}=3$。Qも速さが $3$ なので角速度は $\dfrac{3}{2}$ である。よって
$$\mathrm{P}\left(6\cos\dfrac{t}{2},\,6\sin\dfrac{t}{2}\right),\qquad \mathrm{Q}\left(2\cos\dfrac{3t}{2},\,2\sin\dfrac{3t}{2}\right).$$
PR:RQ が $3:1$ だから $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}+3\overrightarrow{\mathrm{OQ}}}{4}$ であり、和積公式から
$$f(t)=3\cos\dfrac{t}{2}\cos t,\qquad g(t)=3\cos\dfrac{t}{2}\sin t.$$
したがって $r(t)=3\cos\dfrac{t}{2}$ とすれば (1) を満たす。

(2)

$\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{\sqrt6}$（$0<\alpha<\pi$）を満たす角を $\alpha$ とする。微分すると
$$f'(t)=-\dfrac32\sin\dfrac{t}{2}\left(6\cos^2\dfrac{t}{2}-1\right).$$
$0<t<\pi$ で $\sin\dfrac{t}{2}>0$ なので、$f$ は $0\leqq t\leqq\alpha$ で減少し、$\alpha\leqq t\leqq\pi$ で増加する。端点と臨界点の値は $f(0)=3,\ f(\pi)=0,\ f(\alpha)=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$。ゆえに最大値は $3$、最小値は $-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$。

$\cos\dfrac{\beta}{2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$（$0<\beta<\pi$）を満たす角を $\beta$ とおくと
$$g'(t)=3\cos\dfrac{t}{2}\left(3\cos^2\dfrac{t}{2}-2\right).$$
$0\leqq t<\pi$ では $\cos\dfrac{t}{2}>0$ で、臨界点は $t=\beta$ のみ。$g$ は $0\leqq t\leqq\beta$ で増加し、$\beta\leqq t\leqq\pi$ で減少する。$g(0)=g(\pi)=0,\ g(\beta)=\dfrac{4}{\sqrt3}$ より最大値は $\dfrac{4}{\sqrt3}$、最小値は $0$。

(3)

$0\leqq t\leqq\pi$ では $r=3\cos\dfrac{t}{2}\geqq0$ で偏角は $t$。曲線は $(3,0)$ から上半平面を通り原点へ至る単純弧である。$t=\dfrac{\pi}{2}$ では $(x,y)=(0,\dfrac{3}{\sqrt2})$、$t=\beta$ では最高点 $(\sqrt{\dfrac{2}{3}},\dfrac{4}{\sqrt3})$、$t=\alpha$ では左端点 $(-\sqrt{\dfrac{2}{3}},\sqrt{\dfrac{5}{6}})$ となる。

(4)

この弧は極座標で $0\leqq t\leqq\pi$ を一度だけたどるから、囲まれた面積は
$$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi} r^{2}\,dt=\dfrac{9}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\dfrac{t}{2}\,dt=\dfrac{9\pi}{4}.$$

(5)

全軌跡は
$$(x,y)=\left(3\cos\dfrac{t}{2}\cos t,\ 3\cos\dfrac{t}{2}\sin t\right),\qquad 0\leqq t\leqq4\pi.$$
で表され、座標関数の周期は $4\pi$。$0\leqq t\leqq2\pi$ の点と $2\pi\leqq t\leqq4\pi$ の対応する点は原点対称である。直接パラメータを比較すると、重なる非零点は $(0,\dfrac{3}{\sqrt2})$ と $(0,-\dfrac{3}{\sqrt2})$、半径 $r=0$ で生じる交点は原点であり、これらが自己交点である。