I杏林大学 2024年 数学 第I問解答・解説

直線 $\ell$ を $ax-y=4a-2$ と書くと、$x=4$ のとき $y=2$ となるので、定点は $F(4,2)$ である。以下、$D=a^2+1$、$h=4a-2$ とおく。直線の法線ベクトルは $(a,-1)$ だから、原点から $\ell$ までの距離は
$$d=\frac{|h|}{\sqrt D}$$
であり、原点から $\ell$ に下ろした垂線の足は
$$M=\left(\frac{ah}{D},-\frac{h}{D}\right)$$
である。

(a) 円 $C$ の半径は $\sqrt{10}$ である。接線となる条件は $d=\sqrt{10}$ なので
$$(4a-2)^2=10(a^2+1),\qquad 3a^2-8a-3=0,$$
より $a=3,-\frac13$ を得る。垂線の足はそれぞれ $(3,-1),(1,3)$ で、これらが接点 $P,Q$ である。$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=3-3=0$ だから中心角は $\frac{\pi}{2}$。したがって短い方の弧の長さは
$$\sqrt{10}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\pi.$$

(b) 円と異なる2点で交わる条件は $d<\sqrt{10}$、すなわち $-\frac13<a<3$ である。$M=(x,y)$ とすると
$$x^2+y^2=\frac{h^2}{D}=4x+2y.$$
ゆえに
$$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{FM} =(x,y)\cdot(x-4,y-2)=x^2+y^2-4x-2y=0.$$
$a\ne\frac12$ のとき、$\overrightarrow{OM}\ne\overrightarrow{0}$ であり、上の内積が0であることから $\angle OMF=90^\circ$ となる。従って $M$ は線分 $FO$ を直径とする円上にある。ただし $a=\frac12$ では $h=0$、すなわち $M=O$ となり、$\angle OMF$ は定義されない。この場合も、上の座標恒等式 $x^2+y^2=4x+2y$ は成り立つため、$M$ は同じ円上にある。

さらに、$-\frac13<a<3$ では
$$5-(2x+y)=\frac{(3a+1)(3-a)}{a^2+1}>0$$
である。端点 $a=-\frac13,3$ ではそれぞれ $M=Q=(1,3)$、$M=P=(3,-1)$ となる。$M(a)$ は $-\frac13\leqq a\leqq3$ で連続に動き、上の不等式はその内部が $O$ を通る半円の側にあることを示す。従って $M$ は $O$ を通る $P,Q$ 間の開半円弧（端点を除く）を描く。よってキは解答群の3番である。

弦 $RS$ の中点は $M$ であるため、$RS=2\sqrt{10-d^2}$。よって
$$[\triangle ORS]=\frac12\,RS\cdot d=d\sqrt{10-d^2},\qquad [\triangle ORS]^2=25-(d^2-5)^2\leqq25.$$
等号は $d^2=5$、すなわち $d=\sqrt5$ のときに成り立つ。このとき
$$(4a-2)^2=5(a^2+1),\qquad 11a^2-16a-1=0,$$
より
$$a=\frac{8\pm5\sqrt3}{11}.$$

(c) $T(u,v)$ が $\ell$ 上にあるので $v=au-4a+2$。従って
$$\overrightarrow{\alpha}\cdot\overrightarrow{\beta} =au-v=4a-2.$$
また $T$ が楕円 $E$ 上にあることは $|\overrightarrow{\alpha}|=1$ と同値であり、$|\overrightarrow{\beta}|=\sqrt{10a^2+4}$ である。単位ベクトルと $\overrightarrow{\beta}$ の内積が取りうる値は $-|\overrightarrow{\beta}|$ から $|\overrightarrow{\beta}|$ までなので、共有点がある条件は
$$|4a-2|\leqq\sqrt{10a^2+4} \text{すなわち} 6a^2-16a\leqq0 \text{すなわち} 0\leqq a\leqq\frac83.$$
$a=0$ のとき $\ell$ は $y=2$ であり、楕円との接点は $(0,2)$。同じ直線と円 $C$ の交点は $(\pm\sqrt6,2)$ だから、$RS=2\sqrt6$ である。