3大分大学 2023年 数学 第3問解答・解説

空間座標で線分を表し、z軸からの距離を各高さでの回転半径として求める。yz平面との交線はx=0として求め、体積は各高さの円板の面積を定積分する。

線分$AB$上の点を$P(t)=(1-4t,1,-1+4t)\;(0\leqq t\leqq 1)$とおくと、$x=-z$、$y=1$、$-1\leqq z\leqq 3$である。$P(t)$を$z$軸のまわりに回転すると、$z$座標は変わらず、$z$軸からの距離$r$を半径とする円ができる。したがって$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z^2+1}$であり、回転面$S$は$x^2+y^2=z^2+1\;(-1\leqq z\leqq 3)$で表される。
(1) $yz$平面では$x=0$だから、交わりは$y^2=z^2+1\;(-1\leqq z\leqq 3)$、すなわち双曲線$y^2-z^2=1$のうち$-1\leqq z\leqq 3$の部分である。図示するときは、$yz$平面で$y$軸の正負それぞれに開く両枝を描き、例えば$(y,z)=(\pm1,0)$、端点$(y,z)=(\pm\sqrt2,-1),(\pm\sqrt{10},3)$を通るようにする。
(2) 高さ$z$で切った断面は半径$\sqrt{z^2+1}$の円であるから、その面積は$\pi(z^2+1)$である。よって求める体積は$$\int_{-1}^{3}\pi(z^2+1)\,dz=\pi\left[\frac{z^3}{3}+z\right]_{-1}^{3}=\pi\left(12+\frac{4}{3}\right)=\frac{40\pi}{3}.$$積分区間の両端で断面半径はそれぞれ$\sqrt2$、$\sqrt{10}$となり、式の範囲とも一致する。