IV日本医科大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

$O$ を原点とする $xyz$ 空間において、$xy$ 平面（平面 $z=0$）内の曲線 $C:y=x^2$ 上の点 $P(t,t^2,0)$（ただし、$0<t<1$）における $C$ の接線 $\ell$ と直線 $x=1$ との交点を $Q$ とする。また、$A(1,0,0)$、$B(1,1,0)$、$R(t,t^2,t-t^2)$（ただし、$0<t<1$）とする。$t$ が $0<t<1$ を満たしながら動くとき三角形 $PQR$ が通過してできる立体に、線分 $OA$ と点 $B$ を付け加えた立体を $K$ とし、その体積を $V$ とおく。$0\leqq a\leqq1$ を満たす $a$ に対して、$K$ と平面 $x=a$ の共通部分からなる平面図形 $K(a)$ の面積を $S(a)$ とおく。ただし、1点あるいは線分の面積は0とみなして考える。このとき、以下の各問に答えよ。問3〜問5については導出過程も記せ。

問1 $xy$ 平面内における接線 $\ell$ の方程式を $x,y,t$ を用いて表せ。また、$Q$ の座標を $Q(1,\boxed{\text{ア}},0)$ と表すとき、$\boxed{\text{ア}}$ に入る適切な式を $t$ を用いて表せ。答えのみでよい。

問2 $xy$ 平面（平面 $z=0$）内の点 $(a,b,0)$ を $0<a<1$、かつ $0<b\leqq a^2$ を満たすようにとる。このとき、点 $(a,b,0)$ が線分 $PQ$ 上の点となるように $t=t_{a,b}$（$0<t<1$）の値を定め、$t_{a,b}$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。答えのみでよい。

問3 $0\leqq a\leqq1$ を満たす $a$ に対して、平面図形 $K(a)$ が、次の1つの等式と2つの不等式
$$x=a,\quad 0\leqq y\leqq a^2,\quad 0\leqq z\leqq\boxed{\text{イ}}$$
により表される平面図形と一致するように、$\boxed{\text{イ}}$ に入る適切な式を $y$ と $a$ を用いて表せ。

問4 $S(a)$ を求めよ。

問5 $V$ を求めよ。