4琉球大学 2024年 数学 第4問解答・解説

白玉1個が入った袋Aと、白玉2個と赤玉2個が入った袋Bがある。袋Bから無作為に玉を1個取り出し、袋Aに入っている玉と交換する。この試行を繰り返す。$n$ 回試行を繰り返したあとに、袋Aに入っている玉が白である確率を $p_{n}$ とする。このとき、次の問いに答えよ。（50点）

問1 $p_{1}$ を求めよ。

問2 $p_{n+1}$ を $p_{n}$ の式で表せ。

問3 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_{n}$ を求めよ。