琉球大学 2024年数学第1問（医学部医学科・理学部など共通）解答・解説

1問題

琉球大学2024年度第1問

a

を正の実数とする。曲線

y=\log x

の点

(a,\,\log a)

における接線を

l_{1}

、点

(2a,\,\log2a)

における接線を

l_{2}

とする。次の問いに答えよ。（50点）

問1 接線

l_{1}

の方程式を求めよ。

問2

l_{1}

と

l_{2}

の交点の座標を求めよ。

問3 曲線

y=\log x

と直線

l_{1}

、

l_{2}

で囲まれた図形の面積を

S(a)

とする。

\dfrac{S(a)}{a}

を求めよ。

出典：琉球大学 2024年度前期数学第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1
$y=\dfrac{1}{a}x+\log a-1$
問2
$(2a\log2,\ \log a+2\log2-1)$
問3
$\dfrac{S(a)}{a}=\dfrac{1}{2}-(\log2)^{2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

x=au

と置き換えると、曲線・接線の式から

\log a

が打ち消し合い、

\dfrac{S(a)}{a}

が

a

によらない積分になる。接線は曲線より上にあるので、（接線の下の面積）−（曲線の下の面積）。

解答

問1

y'=\dfrac{1}{x}

より

l_{1}:\ y=\dfrac{1}{a}(x-a)+\log a=\dfrac{x}{a}+\log a-1

。

問2

l_{2}:\ y=\dfrac{x}{2a}+\log2a-1

。

\dfrac{x}{a}-\dfrac{x}{2a}=\log2

より

x=2a\log2

、

y=2\log2+\log a-1

。

問3

y=\log x

は上に凸なので、2本の接線は曲線より上にある。

x=au

とおくと

\log x=\log a+\log u

、

l_{1}=u+\log a-1

、

l_{2}=\dfrac{u}{2}+\log2+\log a-1

で、

dx=a\,du

。交点は

u_{0}=2\log2

。

L=\log2

として

\dfrac{S(a)}{a}=\displaystyle\int_{1}^{u_{0}}(u-1)\,du+\int_{u_{0}}^{2}\left(\dfrac{u}{2}+L-1\right)du-\int_{1}^{2}\log u\,du .

各項は

\dfrac{(2L-1)^{2}}{2}=2L^{2}-2L+\dfrac{1}{2}

、

1+2(L-1)-L^{2}-2L(L-1)=-3L^{2}+4L-1

、

2L-1

。よって

\dfrac{S(a)}{a}=2L^{2}-2L+\dfrac{1}{2}-3L^{2}+4L-1-(2L-1)=\dfrac{1}{2}-(\log2)^{2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

接線の方程式
置換して文字を消す
接線と曲線で囲まれた面積

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

1琉球大学 2024年数学第1問解答・解説

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