白衣のものさし
数学 過去問問題を探す

琉球大学／2024年度／前期

3琉球大学 2024年 数学 第3問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面

難易度勝負 レベル 4/10 目安 15分編集部の評価

対象医学部医学科・理学部など 共通

1問題

琉球大学2024年度第3問
zz を複素数で ∣z−1∣=2|z-1|=\sqrt{2} をみたすものとし、w=z+1zw=z+\dfrac{1}{z} とする。次の問いに答えよ。（50点）

問1 ∣1z+1∣2=2\left|\dfrac{1}{z}+1\right|^{2}=2 であることを示せ。

問2 ∣w−2∣∣w+2∣=4|w-2||w+2|=4 であることを示せ。

出典：琉球大学 2024年度 前期 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 問1
    （証明）∣z+1∣2=2∣z∣2|z+1|^{2}=2|z|^{2} を示す
  • 問2
    （証明）w2−4=(z−1z)2w^{2}-4=\left(z-\dfrac{1}{z}\right)^{2} を使う

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

∣z−1∣2=2|z-1|^{2}=2 を zz‾−z−z‾=1z\overline{z}-z-\overline{z}=1 と展開する。∣z+1∣2=zz‾+z+z‾+1|z+1|^{2}=z\overline{z}+z+\overline{z}+1 と組み合わせると ∣z+1∣2=2∣z∣2|z+1|^{2}=2|z|^{2}。問2 は (w−2)(w+2)=(z−1z)2(w-2)(w+2)=\left(z-\dfrac{1}{z}\right)^{2}。

解答

z=0z=0 は ∣0−1∣=1≠2|0-1|=1\neq\sqrt{2} なので z≠0z\neq0。

問1 ∣z−1∣2=2|z-1|^{2}=2 より zz‾−(z+z‾)+1=2z\overline{z}-(z+\overline{z})+1=2、すなわち z+z‾=∣z∣2−1z+\overline{z}=|z|^{2}-1。すると
∣z+1∣2=∣z∣2+(z+z‾)+1=2∣z∣2. |z+1|^{2}=|z|^{2}+(z+\overline{z})+1=2|z|^{2}.
よって ∣1z+1∣2=∣z+1∣2∣z∣2=2\left|\dfrac{1}{z}+1\right|^{2}=\dfrac{|z+1|^{2}}{|z|^{2}}=2。

問2 (w−2)(w+2)=w2−4=z2−2+1z2=(z−1z)2(w-2)(w+2)=w^{2}-4=z^{2}-2+\dfrac{1}{z^{2}}=\left(z-\dfrac{1}{z}\right)^{2}。よって
∣w−2∣∣w+2∣=∣z−1z∣2=∣z−1∣2∣z+1∣2∣z∣2=2⋅∣z+1∣2∣z∣2=2⋅2=4. |w-2||w+2|=\left|z-\dfrac{1}{z}\right|^{2}=\dfrac{|z-1|^{2}|z+1|^{2}}{|z|^{2}}=2\cdot\dfrac{|z+1|^{2}}{|z|^{2}}=2\cdot2=4 .

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 共役複素数を使った絶対値の計算
  • 因数分解

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

この問題、本番の試験なら？

まだない教材・つくるか検討中

琉球大学 数学 解き方の作戦パック

  • 過去 10 年分の全大問に、レベル・目安時間・「必答／勝負／捨て可」
  • 年度ごとの「この順番で解く」と時間配分
  • 各問の発想の由来と、ほかの大学の似た問題

押すだけ・無料・登録なし

見本：東京大学 2026 年度の作戦を見る →

次にやること

同じ年度の次の問題第4問へ進む場合の数と確率・数列・極限

琉球大学のほかの年度

2026202520232022

似た問題を、ほかの大学で