2琉球大学 2024年 数学 第2問解答・解説

接線が原点を通る条件は $a=t^{2}+\dfrac{2}{t}$。右辺を $g(t)$ としてグラフをかき、直線 $y=a$ との共有点の個数を数える。接点が異なれば接線も異なること（2点で接する直線がないこと）も確かめる。

問1 $f'(t)=2t+\dfrac{1}{t^{2}}$ より
$$y=\left(2t+\dfrac{1}{t^{2}}\right)(x-t)+t^{2}-\dfrac{1}{t}+a=\left(2t+\dfrac{1}{t^{2}}\right)x-t^{2}-\dfrac{2}{t}+a .$$

問2 原点を通る条件は $a=t^{2}+\dfrac{2}{t}=g(t)$（$t\neq0$）。$g'(t)=2t-\dfrac{2}{t^{2}}=\dfrac{2(t^{3}-1)}{t^{2}}$。
$t<0$：$g$ は減少し、$+\infty$ から $-\infty$ まですべての値を1回ずつとる。
$t>0$：$t=1$ で最小値 $g(1)=3$、両側で $+\infty$。
よって $g(t)=a$ の実数解の個数は、$a<3$ で1、$a=3$ で2、$a>3$ で3。
また、原点を通る1本の直線 $y=mx$ が2点で接することはない（$x\{f(x)-mx\}=x^{3}-mx^{2}+ax-1$ は3次式で、2つの重解をもてない）ので、接点の数と接線の数は一致する。ちょうど2本となるのは $a=3$（接点は $t=1$ と $t=-2$）。