4長崎大学 2022年 数学 第4問解答・解説

空間内の4点 $O(0,0,0), A(1,2,3), B(1,1,-1), C(7,3,5)$ がある。直線 $OA$ 上の動点 $P$ に対して、線分 $BP,CP$ の長さの平方の和 $BP^{2}+CP^{2}$ の最小値と、線分の長さの和 $BP+CP$ の最小値を求めたい。以下の問いに答えよ。
(1) $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OA}$（$t$ は実数）とするとき、$BP^{2}+CP^{2}$ を $t$ の式で表せ。
(2) $BP^{2}+CP^{2}$ の最小値と、そのときの $P$ の座標を求めよ。
(3) 2点 $B,C$ から直線 $OA$ に垂線を下ろし、交点をそれぞれ $H,K$ とするとき、$H,K$ の座標を求めよ。また、2つのベクトル $\overrightarrow{HB},\overrightarrow{KC}$ のなす角を $\theta$（$0\leqq\theta\leqq\pi$）とするとき、$\cos\theta$ の値を求めよ。
(4) $BP+CP$ の値が最小となるのは、$P$ が線分 $HK$ をどのような比に分けるときかを説明せよ。また、そのときの $P$ の座標、および $BP+CP$ の値を求めよ。