島根大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

島根大学2022年度第2問

平面上に相異なる3点

O,A,B

があり、

O,A,B

は同一直線上にないとする。

\lvert\overrightarrow{OA}\rvert=a

、

\lvert\overrightarrow{OB}\rvert=b

、

\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=c

とする。さらに、実数

s

に対して点

P

を

\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}

であるようにとる。次の問いに答えよ。
(1)

\overrightarrow{OP}

を

s,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}

を用いて表せ。
(2)

a^{2}+b^{2}-2c>0

であることを示せ。
(3)

a\geqq b

であるとする。

s

がすべての正の実数を動くとき、

\lvert\overrightarrow{OP}\rvert

の最小値が存在することを示し、その最小値を

a,b,c

を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}$ .
(2)
$a^2+b^2-2c=|\overrightarrow{AB}|^2>0$ .
(3)
最小値は $\sqrt{\dfrac{a^2b^2-c^2}{a^2+b^2-2c}}$ であり、 $s=\dfrac{a^2-c}{a^2+b^2-2c}>0$ のときに達成する。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}

と、

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

より

\overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}.

(2)

A\ne B

なので

D=a^2+b^2-2c=|\overrightarrow{AB}|^2>0.

(3) (1)の両辺の大きさの2乗をとり、平方完成すると

\begin{aligned}|\overrightarrow{OP}|^2 &=(1-s)^2a^2+2s(1-s)c+s^2b^2\\ &=D\left(s-\frac{a^2-c}{D}\right)^2+\frac{a^2b^2-c^2}{D}. \end{aligned}

∣ O P ∣^{2} = (1 - s)^{2} a^{2} + 2 s (1 - s) c + s^{2} b^{2} = D (s - \frac{a ^{2} - c}{D})^{2} + \frac{a ^{2} b ^{2} - c ^{2}}{D} .

ここで

\phi=\angle AOB

とすると、非共線性から

0<\phi<\pi

であり、

c=ab\cos\phi<ab\leqq a^2

。したがって

s=(a^2-c)/D

は正で、許された範囲内にある。このとき平方項は0となるので、最小値は確かに存在し、

\boxed{\min_{s>0}|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{\frac{a^2b^2-c^2}{a^2+b^2-2c}}}

である。分子は

a^2b^2\sin^2\phi>0

であることも確認できる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

内積
平方完成

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

2島根大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

2答え

3解答

解答

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