IV慶應義塾大学 2022年 数学 第IV問解答・解説

距離の2乗を四次式に展開し，微分による凹凸・極値判定を行う。境界条件を導関数の符号で調べ，最後に弧長を置換積分で求める。

点 $P(x,x^2)$ と $A(a,b)$ の距離の2乗は
$$g(x)=(x-a)^2+(x^2-b)^2 =x^4+(1-2b)x^2-2ax+a^2+b^2.$$

(あ)(い)(う) について，
$$g''(x)=12x^2+2(1-2b).$$
この最小値は $x=0$ での $2(1-2b)$ だから，グラフが全実数で下に凸となる条件は $b\leqq\frac12$。従って $\text{(あ)}=\frac12$。$b>\frac12$ のとき変曲点は $g''(x)=0$ より
$$x=\pm\sqrt{\frac{2b-1}{6}},$$
従って $\text{(い)}=-\sqrt{(2b-1)/6}$，$\text{(う)}=\sqrt{(2b-1)/6}$。

(え)(お) について，$d=2b-1$ とおくと
$$g'(x)=4x^3-2dx-2a,\qquad g''(x)=12x^2-2d.$$
$d\leqq0$ なら $g'$ は単調増加してただ1つ零点をもつので，$g$ は極小点をただ1つもつ。$d>0$ なら $s=\sqrt{d/6}$ とおくと，$g'$ は $x=-s$ で極大，$x=s$ で極小となり，
$$g'(-s)=2(4s^3-a),\qquad g'(s)=-2(4s^3+a).$$
よって極小点が2つとなるのは $-4s^3<a<4s^3$ のときである。境界では $g'$ の重解は符号を変えないので，極小点は1つのままである。従って極小点がただ1つである条件は
$$|a|\geqq4s^3 \quad\text{すなわち}\quad (2b-1)^3\leqq\frac{27}{2}a^2.$$
$d\leqq0$ の場合も含めると
$$b\leqq F(a),\qquad F(a)=\frac12+\frac12\sqrt[3]{\frac{27}{2}a^2} =\frac12+\frac34\sqrt[3]{4a^2}.$$
境界 $b=F(a)$ で $q=\sqrt[3]{2a}$ とおけば $2b-1=3q^2/2$ だから
$$g'(x)=4x^3-3q^2x-q^3=(x-q)(2x+q)^2.$$
$x=-q/2$ は重解で符号を変えず，$x=q$ で $g'$ が負から正に変わる（$q=0$ なら $g'=4x^3$）。よって最小値をとるのは $x=q=\sqrt[3]{2a}$ であり，$\text{(お)}=\sqrt[3]{2a}$。

(か) $x\geqq0$ で $u=\sqrt[3]{2x}$ とおくと
$$F(x)=\frac12+\frac34u^2,\qquad x^2=\frac{u^6}{4},$$
したがって
$$F(x)-x^2=\frac14(2-u^2)(u^2+1)^2.$$
ゆえに曲線 $y=F(x)$ が $D$ に含まれるのは $0\leqq u\leqq\sqrt2$，すなわち $0\leqq x\leqq\sqrt2$ の部分である。また $F'(x)=1/u$ なので，弧長公式と $dx=(3/2)u^2du$ から
$$L=\int_0^{\sqrt2}\sqrt{1+F'(x)^2}\,dx =\frac32\int_0^{\sqrt2}u\sqrt{u^2+1}\,du =\frac12\left[(u^2+1)^{3/2}\right]_0^{\sqrt2} =\frac{3\sqrt3-1}{2}.$$
以上より $\text{(か)}=\frac{3\sqrt3-1}{2}$。