3鹿児島大学 2023年 数学 第3問解答・解説

次の $3\text{-}1,\ 3\text{-}2,\ 3\text{-}3$ から1題を選択して解答せよ。
$3\text{-}1$ 自然数 $n$ に対して、$a_n,b_n$ を
$$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n=a_n+b_n\sqrt{5}$$
を満たす有理数とする。ただし、4つの有理数 $a,b,c,d$ が
$$a+b\sqrt{5}=c+d\sqrt{5}$$
を満たせば $a=c$ かつ $b=d$ が成り立つので、$a_n,b_n$ は各自然数 $n$ に対し1通りに定まることに注意する。
(1) $n$ が3の倍数であるとき、$a_n,b_n$ がともに整数となることを示せ。
(2) 自然数 $n$ が3の倍数であるとき、$a_n,b_n$ のどちらか一方が偶数で他方が奇数となることを示せ。
(3) $a_n,b_n$ がともに整数となるのは $n$ が3の倍数のときに限ることを示せ。
$3\text{-}2$ 空間に異なる4点 $P,A,B,C$ があり、次の条件が満たされているとする。
・三角形 $PAB$ は1辺の長さが1の正三角形である。
・線分 $PA$ と線分 $PC$ は正六角形の隣り合う2辺である。この正六角形を $\alpha$ とおく。
・線分 $PB$ と線分 $PC$ は $\alpha$ とは異なる正六角形の隣り合う2辺である。この正六角形を $\beta$ とおく。
(1) 内積 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB},\ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC},\ \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}$ を求めよ。
さらに、次の条件を満たすような異なる3点 $H,Q,R$ を考える。
・$H$ は線分 $PA$ 上にある。
・$Q$ は3点 $P,A,B$ によって定まる平面を直線 $PA$ で2分割した領域のうち $B$ を含む側にあり、線分 $HQ$ は長さ1で $PA$ に垂直である。
・$R$ は正六角形 $\alpha$ の内部にあり、線分 $HR$ は長さ1で $PA$ に垂直である。
(2) $\overrightarrow{HQ}$ と $\overrightarrow{HR}$ を $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ を用いて表せ。
(3) $\overrightarrow{HQ}$ と $\overrightarrow{HR}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ を求めよ。
$3\text{-}3$ 袋に赤玉4個と白玉2個が入っている。無作為に玉を1個取り出して、それが赤玉であれば白玉と、白玉であれば赤玉と取り換えて袋に戻すという操作を考える。この操作を2回繰り返したあと袋にある赤玉の数を $X$ とし、一方、3回繰り返したあと袋にある白玉の数を $Y$ とする。
(1) 確率 $P(X=4)$ を求めよ。
(2) 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。
(3) 確率変数 $Y$ の期待値 $E(Y)$ を求めよ。