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3 岡山大学 2024年 数学 第3問解答・解説 図形と計量 三角関数 ベクトル
1 問題2 答え3 解答1 問題岡山大学 2024 年度第3問
四面体
O A B C OABC O A B C において、
O A = O B = O C = 1 OA=OB=OC=1 O A = O B = O C = 1 とし、
∠ C O A = α \angle COA=\alpha ∠ C O A = α 、
∠ C O B = β \angle COB=\beta ∠ C O B = β 、
∠ A O B = γ \angle AOB=\gamma ∠ A O B = γ とする。ただし、
0 < α < π 2 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2} 0 < α < 2 π 、
0 < β < π 2 0<\beta<\frac{\pi}{2} 0 < β < 2 π とする。辺
O A OA O A の延長上に点
D D D を
O C → \overrightarrow{OC} O C と
C D → \overrightarrow{CD} C D が垂直になるようにとり、辺
O B OB O B の延長上に点
E E E を
O C → \overrightarrow{OC} O C と
C E → \overrightarrow{CE} C E が垂直になるようにとる。
∠ D C E = θ \angle DCE=\theta ∠ D C E = θ とし、
O A → = a ⃗ \overrightarrow{OA}=\vec{a} O A = a 、
O B → = b ⃗ \overrightarrow{OB}=\vec{b} O B = b 、
O C → = c ⃗ \overrightarrow{OC}=\vec{c} O C = c とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)
C D → \overrightarrow{CD} C D を
a ⃗ , c ⃗ , cos α \vec{a},\vec{c},\cos\alpha a , c , cos α を用いて表せ。また、
C E → \overrightarrow{CE} C E を
b ⃗ , c ⃗ , cos β \vec{b},\vec{c},\cos\beta b , c , cos β を用いて表せ。
(2)
cos θ \cos\theta cos θ を
sin α , cos α , sin β , cos β , cos γ \sin\alpha,\cos\alpha,\sin\beta,\cos\beta,\cos\gamma sin α , cos α , sin β , cos β , cos γ を用いて表せ。
(3)
cos γ = cos α cos β , β = π 2 − α \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta,\quad \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha cos γ = cos α cos β , β = 2 π − α とする。点
C C C から平面
D O E DOE D O E に下ろした垂線の足を
P P P とするとき、
C P = 1 tan γ CP=\frac{1}{\tan\gamma} C P = t a n γ 1 となることを示せ。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2 答え答えを見る 自分の答えと照らし合わせる (1) C D → = sec α a ⃗ − c ⃗ \overrightarrow{CD}=\sec\alpha\,\vec{a}-\vec{c} C D = sec α a − c 、
C E → = sec β b ⃗ − c ⃗ \overrightarrow{CE}=\sec\beta\,\vec{b}-\vec{c} C E = sec β b − c (2) cos θ = cos γ − cos α cos β sin α sin β \cos\theta=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} cos θ = s i n α s i n β c o s γ − c o s α c o s β (3) C P = 1 tan γ CP=\frac{1}{\tan\gamma} C P = t a n γ 1 3 解答解答を見る 途中式つきの解答 解答 (1)
O D → = λ a ⃗ \overrightarrow{OD}=\lambda\vec{a} O D = λ a とおく。
c ⃗ ⋅ ( O D → − c ⃗ ) = 0 \vec{c}\cdot(\overrightarrow{OD}-\vec{c})=0 c ⋅ ( O D − c ) = 0 より
λ cos α = 1 \lambda\cos\alpha=1 λ cos α = 1 。したがって
C D → = sec α a ⃗ − c ⃗ . \boxed{\overrightarrow{CD}=\sec\alpha\,\vec{a}-\vec{c}}. C D = sec α a − c . 同様に
C E → = sec β b ⃗ − c ⃗ . \boxed{\overrightarrow{CE}=\sec\beta\,\vec{b}-\vec{c}}. C E = sec β b − c . (2)
∣ C D → ∣ = tan α |\overrightarrow{CD}|=\tan\alpha ∣ C D ∣ = tan α 、
∣ C E → ∣ = tan β |\overrightarrow{CE}|=\tan\beta ∣ C E ∣ = tan β 、
C D → ⋅ C E → = sec α sec β cos γ − 1 \overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CE}=\sec\alpha\sec\beta\cos\gamma-1 C D ⋅ C E = sec α sec β cos γ − 1 。ゆえに
cos θ = cos γ − cos α cos β sin α sin β . \boxed{\cos\theta=\dfrac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}. cos θ = sin α sin β cos γ − cos α cos β . (3)
a ⃗ = cos α c ⃗ + sin α u ⃗ , b ⃗ = cos β c ⃗ + sin β v ⃗ , u ⃗ ⊥ c ⃗ , v ⃗ ⊥ c ⃗ , ∣ u ⃗ ∣ = ∣ v ⃗ ∣ = 1. \vec{a}=\cos\alpha\,\vec{c}+\sin\alpha\,\vec{u},\quad\vec{b}=\cos\beta\,\vec{c}+\sin\beta\,\vec{v},\quad\vec{u}\perp\vec{c},\ \vec{v}\perp\vec{c},\ |\vec{u}|=|\vec{v}|=1. a = cos α c + sin α u , b = cos β c + sin β v , u ⊥ c , v ⊥ c , ∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1. cos γ = a ⃗ ⋅ b ⃗ = cos α cos β + sin α sin β ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) \cos\gamma=\vec{a}\cdot\vec{b}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) cos γ = a ⋅ b = cos α cos β + sin α sin β ( u ⋅ v ) だから、条件
cos γ = cos α cos β \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta cos γ = cos α cos β と
sin α sin β > 0 \sin\alpha\sin\beta>0 sin α sin β > 0 より
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec{u}\cdot\vec{v}=0 u ⋅ v = 0 。
c ⃗ = ( 0 , 0 , 1 ) \vec{c}=(0,0,1) c = ( 0 , 0 , 1 ) 、
u ⃗ = ( 1 , 0 , 0 ) \vec{u}=(1,0,0) u = ( 1 , 0 , 0 ) 、
v ⃗ = ( 0 , 1 , 0 ) \vec{v}=(0,1,0) v = ( 0 , 1 , 0 ) と選ぶ。さらに
β = π 2 − α \beta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha β = 2 π − α なので
D = ( tan α , 0 , 1 ) , E = ( 0 , cot α , 1 ) . D=(\tan\alpha,0,1),\qquad E=(0,\cot\alpha,1). D = ( tan α , 0 , 1 ) , E = ( 0 , cot α , 1 ) . 平面
D O E DOE D O E は
− cot α x − tan α y + z = 0 -\cot\alpha\,x-\tan\alpha\,y+z=0 − cot α x − tan α y + z = 0 。よって
C P = 1 cot 2 α + tan 2 α + 1 = sin α cos α 1 − sin 2 α cos 2 α = 1 tan γ . CP=\dfrac{1}{\sqrt{\cot^{2}\alpha+\tan^{2}\alpha+1}}=\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}}=\dfrac{1}{\tan\gamma}. C P = cot 2 α + tan 2 α + 1 1 = 1 − sin 2 α cos 2 α sin α cos α = tan γ 1 . したがって
C P = 1 tan γ \boxed{CP=\dfrac{1}{\tan\gamma}} C P = tan γ 1 。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
この問題で使う考え方
垂直条件を内積で立式 単位ベクトル成分分解 法線ベクトルによる点と平面の距離 答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせ から教えてください。
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