I福岡大学 2024年 数学 第I問解答・解説

次の $\square$ をうめよ。
(i) $\dfrac{3}{4}\pi\leqq\theta\leqq\dfrac{5}{4}\pi$ とする。$t=\sin\theta\cos\theta$ として、$\sin\theta+\cos\theta$ を $t$ の式で表すと $\boxed{(1)}$ である。また関数 $f(\theta)=\sin^2\theta\cos\theta+\cos^2\theta\sin\theta$ の最大値は $\boxed{(2)}$ である。
(ii) $\triangle ABC$ において $AB=3,\ CA=4,\ \cos\angle BAC=\dfrac{1}{4}$ とし、辺 $BC$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。このとき $\overrightarrow{AD}$ の大きさは $|\overrightarrow{AD}|=\boxed{(3)}$ である。また辺 $BC$ の中点を $M$ とし、直線 $AM$ 上に点 $P$ をとり、線分 $BP$ の中点を $N$ とする。$\overrightarrow{DN}$ と $\overrightarrow{AM}$ が直交するとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表すと、$\overrightarrow{AP}=\boxed{(4)}$ である。
(iii) $n$ を3以上の自然数とする。箱の中に1から $n$ までの番号を1つずつ書いた $n$ 枚の札が入っている。この箱の中から同時に3枚の札を取り出すとき、取り出した3枚の札の番号のうち最小の番号が3である確率を $P_n$ とする。このとき $P_6$ の値は $\boxed{(5)}$ である。また $n$ の値が変化するとき、$P_n$ の最大値は $\boxed{(6)}$ である。