4岡山大学 2024年 数学 第4問解答・解説

線分Sの方向ベクトルは$\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$であり、点$(0,1)$から点Pまでの距離がtだから、$P=(\frac{t}{\sqrt{2}},1-\frac{t}{\sqrt{2}})$である。
(1) 直線Sの傾きは$-1$なので、これに垂直な直線$\ell$の傾きは1である。よって
$$y-(1-\frac{t}{\sqrt{2}})=x-\frac{t}{\sqrt{2}},$$
すなわち
$$\boxed{y=x+1-\sqrt{2}t}.$$
(2) 曲線C上の点Qを$Q=(u^2,(1-u)^2)$（$0\leqq u\leqq1$）とおくと、$y-x=1-2u$である。一方、Qは$\ell$上にあるから$y-x=1-\sqrt{2}t$であり、$u=\frac{t}{\sqrt{2}}$となる。ここで$a=\frac{t}{\sqrt{2}}$とおけば、$P=(a,1-a)$、$Q=(a^2,(1-a)^2)$である。したがって
$$PQ=\sqrt{(a-a^2)^2+(1-a-(1-a)^2)^2}=\sqrt{2}a(1-a)=t-\frac{t^2}{\sqrt{2}}.$$
この値は$0\leqq t\leqq\sqrt{2}$で非負である。
(3) 回転軸S上で始点から距離tの位置で軸に垂直に切ると、その断面は線分PQであり、これを回転すると半径$PQ=t-\frac{t^2}{\sqrt{2}}$の円板になる。tはS上の距離そのものなので、体積は
$$\begin{aligned}V&=\pi\int_0^{\sqrt{2}}\left(t-\frac{t^2}{\sqrt{2}}\right)^2dt\\&=\pi\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{2\sqrt{2}}+\frac{t^5}{10}\right]_0^{\sqrt{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}\pi}{15}.\end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}{\left(t-\frac{t^2}{\sqrt{2}}\right)}^{2}dt$$$$=\pi {\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{2\sqrt{2}}+\frac{t^5}{10}\right]}_0^{\sqrt{2}}$$$$=\frac{\sqrt{2}\pi }{15}.$$