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岡山大学／2022年度／前期

2岡山大学 2022年 数学 第2問解答・解説

図形と方程式微分・積分の考え

1問題

岡山大学2022年度第2問
aa を実数とし、座標平面上の曲線
C:y=x3+(a+2)x2+2ax+2C:y=x^{3}+(a+2)x^{2}+2ax+2
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) aa がどのような値をとっても曲線 CC は2つの定点を通る。その2点の座標を求めよ。
(2) (1)で求めた2点のうち、xx 座標の小さい方を点 AA、もう一方を点 BB とし、その2点を通る直線を LL とする。曲線 CC と直線 LL が異なる3点で交わり、その交点がすべて線分 ABAB 上にあるような aa の値の範囲を求めよ。
(3) aa の値が (2)で求めた範囲にあるとする。このとき、曲線 CC と (2)で定めた直線 LL で囲まれた部分の面積 S(a)S(a) の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    定点は(−2,2),(0,2)(-2,2),(0,2)。
  • (2)
    0<a<20<a<2。
  • (3)
    面積の最小値は12\frac12、a=1a=1で達成。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) y=x3+2x2+2+a(x2+2x)y=x^3+2x^2+2+a(x^2+2x) と変形する。aaの値によらず通る点では、aaの係数が0であるから、x2+2x=x(x+2)=0x^2+2x=x(x+2)=0、すなわちx=0,−2x=0,-2。いずれもy=x3+2x2+2=2y=x^3+2x^2+2=2となる。よって定点は(−2,2),(0,2)(-2,2),(0,2)。
(2) 直線LLはy=2y=2である。曲線CCとの交点のxx座標はx3+(a+2)x2+2ax=0x^3+(a+2)x^2+2ax=0、すなわちx(x+2)(x+a)=0x(x+2)(x+a)=0の解である。−2,0,−a-2,0,-aが異なる3数で、かついずれも−2≦x≦0-2\leqq x\leqq0を満たす条件は、0≦a≦20\leqq a\leqq2かつa≠0,2a\neq0,2である。したがって0<a<20<a<2。
(3) g(x)=x(x+2)(x+a)g(x)=x(x+2)(x+a)とおく。0<a<20<a<2より−2<−a<0-2<-a<0であり、g(x)g(x)は−2<x<−a-2<x<-aで正、−a<x<0-a<x<0で負である。原始関数をF(x)=x44+a+23x3+ax2F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{a+2}{3}x^3+ax^2とすると、F(0)=0F(0)=0、F(−a)=a3(4−a)12F(-a)=\frac{a^3(4-a)}{12}、F(−2)=4(a−1)3F(-2)=\frac{4(a-1)}{3}。よってS(a)=∫−2−ag(x) dx−∫−a0g(x) dx=2F(−a)−F(−2)=−a4+4a3−8a+86.S(a)=\int_{-2}^{-a}g(x)\,dx-\int_{-a}^{0}g(x)\,dx=2F(-a)-F(-2)=\frac{-a^4+4a^3-8a+8}{6}.さらにS(a)−12=(a−1)2(5+2a−a2)6=(a−1)2{6−(a−1)2}6≧0S(a)-\frac12=\frac{(a-1)^2(5+2a-a^2)}{6}=\frac{(a-1)^2\{6-(a-1)^2\}}{6}\geqq0である。ここで0<a<20<a<2より∣a−1∣<1|a-1|<1なので6−(a−1)2>06-(a-1)^2>0。等号はa=1a=1のとき成立する。したがって最小値は12\frac12である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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