4岡山大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

微分すると
$$f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{1-x}-\log(1-x)+\dfrac{x}{1-x}=-\dfrac{x}{1+x}-\log(1-x).$$
ここで $\varphi(x)=-\log(1-x)-x$ とおくと、$\varphi(0)=0$、$\varphi'(x)=\dfrac{x}{1-x}$ である。$-1<x<0$ では $\varphi'(x)<0$ だから $\varphi(x)>\varphi(0)=0$、$0<x<1$ では $\varphi'(x)>0$ だから $\varphi(x)>\varphi(0)=0$ である。したがって $\varphi(x)\geqq0$ であり、
$$f'(x)=\varphi(x)+\dfrac{x^{2}}{1+x}\geqq0$$
を得る。等号は $x=0$ のときに限る。

(2)

$f(0)=0$ であり、(1) より $x\neq0$ なら $f'(x)>0$ である。$x>0$ のとき、平均値の定理により $0<c<x$ を満たす $c$ が存在して $f(x)-f(0)=xf'(c)>0$。よって $f(x)>0$ である。$x<0$ のとき、$x<c<0$ を満たす $c$ が存在して $f(0)-f(x)=(-x)f'(c)>0$。よって $f(x)<0$ である。いずれの場合も $\dfrac{f(x)}{x}>0$ である。

(3)

$t=\dfrac{1}{n}$ とおくと $0<t\leqq\dfrac{1}{2}$ である。(2) から $f(t)>0$ なので
$$\log(1-t^{2})-t\log(1-t)>0.$$
$nt=1$ より $n\log(1-t^{2})>\log(1-t)$。指数関数は増加するから $(1-t^{2})^{n}>1-t$ である。
また (2) から $f(-t)<0$ である。対数の性質を用いると
$$f(-t)=\log(1-t^{2})+t\log(1+t)=\log(1-t)+(1+t)\log(1+t)<0.$$
ここで $t=\dfrac{1}{n}$ だから、両辺に $n>0$ を掛けて
$$n\log(1-t)+(n+1)\log(1+t)<0.$$
これは $(n+1)\log(1-t^{2})<\log(1-t)$ と同値である。指数関数は増加するから $(1-t^{2})^{n+1}<1-t$ である。最後に $t=\dfrac{1}{n}$ を代入すると
$$\left(\dfrac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)^{n+1}<\dfrac{n-1}{n}<\left(\dfrac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)^{n}$$
を得る。

補助関数 $\varphi(x)=-\log(1-x)-x$ の増減を左右の区間で調べて $f'$ の符号を得る。平均値の定理で $\dfrac{f(x)}{x}>0$ を示し、$x=\pm\dfrac{1}{n}$ に適用して求める二つの不等式を導く。