2東海大学 2022年 数学 第2問解答・解説

逆関数との一致は定義域・値域と逆関数の式から判定する。共有点での接線一致は、関数値と傾きの条件を同時に課して必要十分条件を求める。軸との交点から面積関数を作り、定義された範囲で微分して最大を決める。

(1) 商の微分法より
$$f'(x)=\frac{a(x+c)-(ax+b)}{(x+c)^2} =\frac{ac-b}{(x+c)^2}.$$

(2) $y=f(x)$ を $x$ について解くと
$$(y-a)x=b-cy,\qquad x=\frac{b-cy}{y-a}.$$
仮定 $ac-b\ne0$ のもとで、$y=a$ は $f(x)$ の値にならず、$y\ne a$ なら上式の $x$ は $x\ne-c$ を満たす。従って $f$ の定義域は $-c$ を除く実数全体、値域は $a$ を除く実数全体であり、逆関数の定義域は $a$ を除く実数全体である。$f$ と逆関数が等しいためには定義域が一致する必要があるから $-c=a$、すなわち $c=-a$ が必要である。逆に $c=-a$ のとき
$$f^{-1}(x)=\frac{b-cx}{x-a} =\frac{b+ax}{x-a} =\frac{ax+b}{x-a}=f(x)$$
である。よって条件は $c=-a$ である。

(3) $c=-a$ とし、$K=a^2+b$ とおく。仮定より $K\ne0$ であり、
$$f(x)=a+\frac{K}{x-a},\qquad f'(x)=-\frac{K}{(x-a)^2},\qquad f''(x)=\frac{2K}{(x-a)^3}.$$
共有点の $x$ 座標を $x_0$ とする。そこで曲線 $C$ と $C'$ の接線の傾きが等しいための条件は $f'(x_0)=f''(x_0)$ である。$u=x_0-a$ とおくと
$$-\frac{K}{u^2}=\frac{2K}{u^3}$$
より $u=-2$ となる。さらに共有点の条件 $f(x_0)=f'(x_0)$ に代入すると
$$a-\frac K2=-\frac K4,$$
従って $K=4a$、すなわち
$$b=4a-a^2=a(4-a).$$
逆にこのとき $x_0=a-2$ で $f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=-a$ となるため、両曲線は共有点で同じ接線をもつ。なお $ac-b=-4a\ne0$ で、与えられた条件も満たす。

(4)(i) 接点は $(a-2,-a)$、接線の傾きは $-a$ なので
$$\ell:\ y+a=-a\{x-(a-2)\},\qquad y=-ax+a^2-3a.$$
$a>0$ だから、$x$ 軸との交点と $y$ 軸との交点はそれぞれ
$$A=(a-3,0),\qquad B=(0,a^2-3a)$$
である。従って
$$[OAB]=\frac12|a-3|\,|a^2-3a| =\frac{a(a-3)^2}{2}.$$

(4)(ii) 条件 $a-3<0$ かつ $a(a-3)<0$ は、$a>0$ と合わせて $0<a<3$ と同値である。この範囲で面積を $S(a)$ とすると
$$S'(a)=\frac32(a-3)(a-1).$$
したがって $0<a<1$ では増加し、$1<a<3$ では減少する。最大は範囲内の $a=1$ で生じ、
$$S(1)=\frac12(1)(1-3)^2=2.$$